Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 35, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu
\[y=-2x+16.\]
Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P_{ABC}=\frac{153}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) jest również środkową. Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\), więc prostopadła do niej wysokość \(CD\) ma współczynnik \(1/2\). Ponieważ przechodzi przez \(C=(-2,3)\), ma równanie
\[y=\frac12x+4.\]
Punkt \(D\) jest przecięciem prostych
\[y=-2x+16\qquad\text{i}\qquad y=\frac12x+4.\]
Stąd
\[D=\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right).\]
Ponieważ \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), a \(B=(3,10)\), mamy
\[\frac{x_A+3}{2}=\frac{24}{5},\qquad \frac{y_A+10}{2}=\frac{32}{5}.\]
Zatem
\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right).\]
Długości podstawy i wysokości wynoszą
\[|AB|=\frac{18\sqrt5}{5},\qquad |CD|=\frac{17\sqrt5}{5}.\]
Pole trójkąta jest więc równe
\[P_{ABC}=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17\sqrt5}{5}=\frac{153}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – współrzędne \(A=(33/5,14/5)\) i pole \(153/5\)
**4 pkt** – obliczenie \(|AB|=18\sqrt5/5\) oraz \(|CD|=17\sqrt5/5\)
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(A\)
**2 pkt** – obliczenie środka podstawy \(D=(24/5,32/5)\) albo zapisanie równoważnego równania wynikającego z równoramienności
**1 pkt** – wyznaczenie prostej wysokości \(y=\frac12x+4\), obliczenie \(|BC|=\sqrt{74}\) albo współczynnika kierunkowego prostej \(BC\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
wyznaczanie równań prostych prostopadłych, punktu przecięcia prostych, środka odcinka, długości odcinków i pola trójkąta w układzie współrzędnych.
