Inne zagadnienia
Zadanie 34, maj 2022, poziom podstawowy
Ze zbioru \(M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{4}{81}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy dwa razy ze zwracaniem, a wynik zapisujemy w kolejności losowania, więc zdarzeniem elementarnym jest para uporządkowana \((x,y)\), gdzie \(x,y\in M\). Z reguły mnożenia
\[|\Omega|=9\cdot9=81,\]
a wszystkie te wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Szukamy par o iloczynie \(24\). Rozkłady liczby \(24\) na dwa czynniki ze zbioru \(M=\{1,2,\ldots,9\}\):
\[24=3\cdot8=4\cdot6\]
(rozkłady \(1\cdot24\) i \(2\cdot12\) odpadają, bo drugi czynnik nie należy do \(M\)). Uwzględniając kolejność, otrzymujemy pary
\[(3,8),\ (8,3),\ (4,6),\ (6,4),\]
czyli \(|A|=4\).
Z definicji klasycznej
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{81}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{4}{81}\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P(A)=\frac4{81}\)
**1 pkt** – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych albo podanie ich liczby \(|\Omega|=9\cdot9=81\)
ALBO – wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) i niewypisanie żadnego niewłaściwego
ALBO – podanie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\): \(|A|=4\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymaganie szczegółowe:**
10.2) Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
