Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 10, maj 2010, poziom rozszerzony
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez \(3\).
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{3}\). Przestrzeń ma \(6^{3}\)=\(216\) równoprawdopodobnych wyników. Kwadrat daje modulo \(3\) resztę \(0\) dla oczek \(3\) i \(6\), a resztę \(1\) dla \(1\), \(2\), \(4\) i \(5\). Suma jest podzielna przez \(3\), gdy wszystkie trzy reszty są zerowe albo wszystkie są jedynkami, więc zdarzeń sprzyjających jest \(2^{3}\)+\(4^{3}\)=\(72\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rzucamy trzy razy, a wynikiem jest uporządkowana trójka oczek, więc mamy model klasyczny: wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne i wystarczy policzyć, ile ich jest w ogóle i ile z nich jest korzystnych. Warunku podzielności przez \(3\) nie sprawdzamy jednak dla setek trójek: przechodzimy na reszty z dzielenia przez \(3\).
**Krok \(2\).** Wszystkich wyników jest
\[|\Omega|=6^3=216.\]
**Krok \(3\).** Sprawdzamy, jaką resztę z dzielenia przez \(3\) daje kwadrat każdej możliwej liczby oczek:
\[1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 3^2=9,\quad 4^2=16,\quad 5^2=25,\quad 6^2=36.\]
Reszty z dzielenia przez \(3\) to kolejno \(1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0\).
**Krok \(4\).** Widzimy więc, że kwadrat daje resztę \(0\) tylko dla oczek \(3\) i \(6\) (dwie możliwości), a dla wszystkich pozostałych oczek, czyli \(1,2,4,5\), daje resztę \(1\) (cztery możliwości). Reszta \(2\) nie pojawia się w ogóle.
**Krok \(5\).** Suma trzech reszt, z których każda jest równa \(0\) albo \(1\), może wynosić \(0\), \(1\), \(2\) albo \(3\). Podzielna przez \(3\) jest tylko wtedy, gdy wynosi \(0\) (wszystkie trzy reszty zerowe) albo \(3\) (wszystkie trzy reszty równe \(1\)).
**Krok \(6\).** Pierwszy przypadek: w każdym z trzech rzutów wypada \(3\) lub \(6\), czyli trójek jest \(2^3=8\).
**Krok \(7\).** Drugi przypadek: w każdym z trzech rzutów wypada jedna z liczb \(1,2,4,5\), czyli trójek jest \(4^3=64\). Przypadki się wykluczają, więc
\[|A|=8+64=72.\]
**Krok \(8\).** Zatem
\[P(A)=\frac{72}{216}=\frac13.\]
**Uwaga.** Podzielna przez \(3\) ma być suma kwadratów, a nie suma oczek, dlatego reszty liczymy dla \(k^2\), a nie dla \(k\). Zauważmy też, że kolejność rzutów ma znaczenie i w obu przypadkach liczymy ciągi, a nie zbiory, dlatego pojawiają się potęgi \(2^3\) i \(4^3\).
**Odpowiedź.** \(P(A)=\dfrac13\).
Klucz i zasady oceniania
Schemat oceniania
**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania: zdający zapisze, że \(\lvert\Omega\rvert=6^{3}\) i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
**2 pkt** – istotny postęp: zdający zapisze, że suma kwadratów trzech liczb jest podzielna przez \(3\) tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są podzielne przez \(3\) albo wszystkie są niepodzielne przez \(3\).
**3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający poprawnie obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia \(\lvert A\rvert=72\) i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
**4 pkt** – rozwiązanie pełne: \(P(A)=\frac{1}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
