Funkcja kwadratowa
Zadanie 47, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(\lvert AD\rvert=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\) taką, że
\[\tan\alpha=2.\]
Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\), prostopadła do \(BD\), przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(CE\).
Odpowiedź
\[\lvert CE\rvert=\frac{4\sqrt5}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy
\[\tan\alpha=\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AD\rvert}=2.\]
Ponieważ \(\lvert AD\rvert=2\), otrzymujemy \(\lvert AB\rvert=4\). Zatem w prostokącie \(\lvert BC\rvert=2\), \(\lvert DC\rvert=4\), a
\[\lvert BD\rvert=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5.\]
Odcinek \(CE\) jest wysokością trójkąta prostokątnego \(BCD\) poprowadzoną na przeciwprostokątną. Porównujemy dwa wzory na jego pole:
\[\frac12\cdot2\cdot4=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\lvert CE\rvert.\]
Stąd
\[\lvert CE\rvert=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\lvert CE\rvert=\frac{4\sqrt5}{5}\)
**2 pkt** – obliczenie \(\lvert BD\rvert=2\sqrt5\) albo poprawne równanie z jedną niewiadomą dla \(CE\)
**1 pkt** – obliczenie \(\lvert AB\rvert=4\) albo równoważny poprawny etap trygonometryczny
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
VIII.12) Stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich.
