Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 21, maj 2024, poziom podstawowy
Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^{\circ}\). Pole tego równoległoboku jest równe
A. \(12\)
B. \(12\sqrt{3}\)
C. \(6\)
D. \(6\sqrt{3}\)
Odpowiedź
**D.** \(6\sqrt{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dane są dwa boki równoległoboku i kąt między nimi — to dokładnie sytuacja, w której stosujemy wzór na pole
\[P=ab\sin\gamma,\]
gdzie \(a\), \(b\) to długości boków, a \(\gamma\) — miara kąta zawartego między nimi.
**Krok \(2\).** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego sinus wyznaczamy ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\):
\[\sin120^\circ=\sin\left(180^\circ-120^\circ\right)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a=3\), \(b=4\):
\[P=3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\]
**Krok \(4\).** Ten sam wynik można dostać przez wysokość. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\), więc wysokość opuszczona na bok długości \(4\) wynosi
\[h=3\cdot\sin60^\circ=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},\]
a stąd \(P=4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=6\sqrt3\).
**Uwaga.** Iloczyn \(3\cdot4=12\) to pole **prostokąta** o takich bokach, czyli błędna odpowiedź **A**. Równoległobok o tych samych bokach ma pole mniejsze — trzeba dołożyć czynnik \(\sin\gamma\), który dla kąta różnego od \(90^\circ\) jest mniejszy od \(1\).
**Odpowiedź.** D: \(6\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
