Funkcje
Zadanie 16, maj 2019, poziom podstawowy
Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^{\circ}\). Pole tego rombu jest równe
A. \(8\)
B. \(12\)
C. \(8\sqrt{3}\)
D. \(16\)
Odpowiedź
A. \(8\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Romb to równoległobok o wszystkich bokach tej samej długości. Mamy dany bok i kąt, więc sięgamy po wzór na pole z sinusem kąta między bokami:
\[P=a\cdot b\cdot\sin\alpha,\]
co dla rombu (gdzie \(b=a\)) daje \(P=a^{2}\sin\alpha\).
**Krok \(2\).** Dane: \(a=4\) oraz kąt rozwarty \(\alpha=150^{\circ}\).
**Krok \(3\).** Potrzebujemy \(\sin 150^{\circ}\). Ze wzoru redukcyjnego
\[\sin 150^{\circ}=\sin\left(180^{\circ}-150^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ}=\frac12.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru:
\[P=4^{2}\cdot\frac12=16\cdot\frac12=8.\]
**Krok \(5\).** Ten sam wynik bez wzoru z sinusem: kąt ostry rombu ma miarę \(180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\), więc wysokość opuszczona na bok wynosi \(h=4\cdot\sin 30^{\circ}=4\cdot\frac12=2\), a stąd
\[P=a\cdot h=4\cdot 2=8.\]
**Uwaga.** Nie ma znaczenia, czy do wzoru wstawimy kąt ostry, czy rozwarty rombu — ich sinusy są równe (\(\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\frac12\)). Pole nigdy nie wyjdzie ujemne, choć dla kąta rozwartego ujemny jest cosinus.
**Odpowiedź.** A. \(8\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 16. (0−1)
**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi (7.4).
