Trójkąty
Zadanie 15, maj 2019, poziom podstawowy
Dane są dwa okręgi: o środku O i promieniu \(5\) oraz o środku P i promieniu \(3\). Odcinek OP ma długość \(16\). Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B oraz przecina odcinek OP w punkcie K. Wtedy
A. \(OK = 6\)
B. \(OK = 8\)
C. \(OK = 10\)
D. \(OK = 12\)
Odpowiedź
C. OK = \(10\)
Rozwiązanie krok po kroku
Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznej, więc trójkąty \(OAK\) i \(PBK\) są prostokątne. Kąty przy wierzchołku \(K\) są wierzchołkowe, zatem trójkąty te są podobne, a skala podobieństwa to stosunek promieni:
\[\frac{\lvert OK\rvert}{\lvert PK\rvert}=\frac53.\]
Punkt \(K\) leży na odcinku \(OP\), więc \(\lvert OK\rvert+\lvert PK\rvert=16\). Podstawiając \(\lvert OK\rvert=\frac53\lvert PK\rvert\):
\[\tfrac53\lvert PK\rvert+\lvert PK\rvert=16,\qquad \lvert PK\rvert=6,\qquad \lvert OK\rvert=10.\]
**Odpowiedź.** C. \(\lvert OK\rvert=10\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 15. (0−1)
Wersja Wersja
7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty
I. Wykorzystanie I II
podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa
i tworzenie informacji.
trójkątów (7.3).
C B
