Funkcje
Zadanie 17, maj 2018, poziom podstawowy
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości \(KL = a, MN = b, a > b\). Kąt KLM ma miarę \(60^{\circ}\). Długość ramienia LM jest równa
A. a − b
B. \(2\)(a − b)
C. a + b
D. \(\frac{(a + b)}{2}\)
Odpowiedź
B. \(2\)(a − b)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że trapez \(KLMN\) jest prostokątny: ramię \(KN\) jest prostopadłe do obu podstaw, a kąt ostry \(KLM\) o mierze \(60^\circ\) leży przy dłuższej podstawie \(KL\).
Spuszczamy z wierzchołka \(M\) wysokość na podstawę \(KL\); jej spodek oznaczmy przez \(P\). Powstaje trójkąt prostokątny \(MPL\), w którym:
- przeciwprostokątną jest ramię \(LM\),
- przyprostokątna \(PL\) leżąca przy kącie \(60^\circ\) ma długość równą różnicy podstaw, bo \(KPMN\) jest prostokątem:
\[|PL|=|KL|-|KP|=a-b.\]
Z definicji cosinusa kąta ostrego:
\[\cos60^\circ=\frac{|PL|}{|LM|},\qquad \frac12=\frac{a-b}{|LM|}.\]
Stąd
\[|LM|=2(a-b).\]
Założenie \(a>b\) gwarantuje, że długość ta jest dodatnia.
**Odpowiedź.** B: \(2(a-b)\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 17. (0−1)
**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne.
**Wymaganie szczegółowe:** 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych (7.4).
