Czworokąty
Zadanie 14, czerwiec 2014, poziom podstawowy
W trapezie \(KLMN\), w którym \(KL\parallel MN\), kąt \(LKN\) jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są:
\[|MN|=3,\qquad |KN|=4\sqrt3,\qquad \angle KLM=60^\circ.\]
Pole tego trapezu jest równe
**A.** \(4+2\sqrt3\)
**B.** \(10\sqrt3\)
**C.** \(20\sqrt3\)
**D.** \(24+6\sqrt3\)
Odpowiedź
**C.** \(20\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że kąt przy wierzchołku \(K\) jest prosty, więc ramię \(KN\) jest wysokością trapezu, a \(KL\) i \(MN\) są podstawami.
Rzut wierzchołka \(M\) na podstawę \(KL\) oznaczmy przez \(F\). Wtedy \(\lvert KF\rvert=\lvert MN\rvert=3\) oraz \(\lvert MF\rvert=\lvert KN\rvert=4\sqrt3\). W trójkącie prostokątnym \(MFL\) przy kącie \(\lvert\angle KLM\rvert=60^\circ\):
\[\lvert FL\rvert=\frac{\lvert MF\rvert}{\operatorname{tg}60^\circ}=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3}=4.\]
Stąd \(\lvert KL\rvert=3+4=7\).
Pole trapezu:
\[P=\frac{\lvert KL\rvert+\lvert MN\rvert}{2}\cdot\lvert KN\rvert=\frac{7+3}{2}\cdot4\sqrt3=20\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** C. \(20\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
