Równania i nierówności
Zadanie 10, próbna styczeń 2009, poziom rozszerzony
Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba \(1\) tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.
Odpowiedź
\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy kąty ostre przez \(\alpha\) i \(\beta\); w trójkącie prostokątnym
\(\alpha+\beta=90^{\circ}\), więc \(\sin\beta=\cos\alpha\).
Skoro \((\sin\alpha,\sin\beta,1)\) jest ciągiem geometrycznym, to kwadrat wyrazu
środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[\sin^{2}\beta=\sin\alpha\cdot1,\qquad \cos^{2}\alpha=\sin\alpha.\]
Z jedynki trygonometrycznej \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\), zatem
\[1-\sin^{2}\alpha=\sin\alpha,\qquad \sin^{2}\alpha+\sin\alpha-1=0.\]
Podstawiając \(s=\sin\alpha\), otrzymujemy \(s^{2}+s-1=0\), \(\Delta=5\), więc
\[s=\frac{-1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad s=\frac{-1+\sqrt5}{2}.\]
Pierwsza wartość jest ujemna, a sinus kąta ostrego jest dodatni, więc
\(\sin\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618\).
Wtedy \(\sin\beta=\cos\alpha\approx0{,}786>\sin\alpha\), więc to \(\alpha\) jest
najmniejszym kątem trójkąta.
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**10.1. (1 pkt)** – zapisanie, że ciąg \((\sin\alpha,\sin\beta,1)\) lub \((1,\sin\beta,\sin\alpha)\) jest geometryczny. „\(1\)” jest pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu.
**10.2. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego i zapisanie warunku: \(\sin^{2}\beta=\sin\alpha\cdot 1\).
**10.3. (1 pkt)** – wykorzystanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi w trójkącie prostokątnym: \(\sin\beta=\cos\alpha\) oraz jedynki trygonometrycznej i zapisanie równania z niewiadomą \(\sin\alpha\): \(1-\sin^{2}\alpha=\sin\alpha\).
**10.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\), \(\sin\alpha=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\). Podanie odpowiedzi: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
