Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 27, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Tomek i Marek chcą wejść na szczyt \(S\) pewnej góry. Początkowo znajdują się w punkcie \(P\), położonym na północnym stoku dokładnie na północ od szczytu, na wysokości \(H_0\) metrów n.p.m. Chcą dotrzeć do bazy \(B\), znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym stoku, na wysokości \(H_1\) metrów n.p.m., a następnie wejść na szczyt leżący na wysokości \(H_2\) metrów n.p.m.
**Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć z punktu \(P\) do bazy \(B\). Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia \(\alpha\).**
*Wskazówka: powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu \(P\) do \(B\) na tym wycinku.*
Odpowiedź
\[d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka najkrótsza droga jest odcinkiem \(PB\). Niech \(l\) i \(R\) oznaczają tworzącą i promień podstawy. Kąt środkowy całego wycinka ma miarę \(2\pi R/l\), dlatego punkty leżące po przeciwnych stronach stożka wyznaczają na siatce kąt
\[\angle BSP=\pi\frac Rl=\pi\sin\frac{\alpha}{2}.\]
Z przekroju osiowego stożka:
\[|PS|=\frac{H_2-H_0}{\cos(\alpha/2)},\qquad |BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos(\alpha/2)}.\]
Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(BSP\):
\[|PB|^2=|PS|^2+|BS|^2-2|PS||BS|\cos\angle BSP.\]
Po podstawieniu otrzymujemy
\[d=|PB|=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i pełny wzór na długość \(PB\)
**3 pkt** – obliczenie \(\angle BSP=\pi\sin(\alpha/2)\) oraz długości \(PS\) i \(BS\)
**2 pkt** – obliczenie kąta na siatce albo obu długości odcinków od szczytu
**1 pkt** – zapisanie, że najkrótsza droga jest długością odcinka \(PB\) na siatce stożka
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.3 i IV.4 tworzenie pomocniczych obiektów i modeli matematycznych oraz stosowanie strategii w sytuacji nietypowej.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1R, VIII.2 i VIII.6 miara łukowa, twierdzenie cosinusów oraz wzory na pole wycinka koła i długość łuku.
