Inne zagadnienia
Zadanie 3, maj 2007, poziom rozszerzony
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o \(1\,\mathrm{m}\) większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi \(\frac23\) objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.
Odpowiedź
\[V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy stożka (równy promieniowi półkuli), a przez \(h\) wysokość stożka. Z treści zadania
\[h=r+1.\]
Objętości obu części kapsuły wynoszą
\[V_{\text{st}}=\frac13\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{pk}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^{3}=\frac23\pi r^{3},\]
a objętość całej kapsuły to \(V=V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\).
Warunek zadania \(V_{\text{st}}=\frac23V\) przekształcamy:
\[V_{\text{st}}=\frac23\left(V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\right),\qquad 3V_{\text{st}}=2V_{\text{st}}+2V_{\text{pk}},\qquad V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}.\]
Podstawiamy wzory i \(h=r+1\):
\[\frac13\pi r^{2}(r+1)=2\cdot\frac23\pi r^{3}=\frac43\pi r^{3}.\]
Ponieważ \(r>0\), dzielimy obie strony przez \(\frac13\pi r^{2}\):
\[r+1=4r,\qquad 3r=1,\qquad r=\frac13.\]
Wtedy \(h=\frac13+1=\frac43\).
Obliczamy objętość kapsuły:
\[V_{\text{st}}=\frac13\pi\cdot\frac19\cdot\frac43=\frac{4\pi}{81},\qquad
V_{\text{pk}}=\frac23\pi\cdot\frac1{27}=\frac{2\pi}{81},\]
\[V=\frac{4\pi}{81}+\frac{2\pi}{81}=\frac{6\pi}{81}=\frac{2\pi}{27}.\]
Sprawdzenie warunku: \(\frac{V_{\text{st}}}{V}=\frac{4/81}{6/81}=\frac23\).
**Odpowiedź.** \(V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3\)
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):**
**1 pkt** – zapisanie zależności między promieniem a wysokością stożka: \(h=r+1\)
**1 pkt** – zapisanie wzorów na objętość stożka i półkuli
**1 pkt** – przekształcenie warunku \(V_{\text{st}}=\frac23V\) do postaci \(V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}\)
**1 pkt** – obliczenie promienia: \(r=\frac13\)
**1 pkt** – obliczenie objętości kapsuły: \(V=\frac{2\pi}{27}\)
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu matematycznego bryły złożonej, zapisywanie i przekształcanie warunku dotyczącego stosunku objętości oraz obliczanie objętości stożka i półkuli.
