Strona główna › Funkcje › Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Q: Czy badanie przebiegu zmienności jest na maturze?

Jego trzon tak: dział XIII w zakresie rozszerzonym wymaga wprost stosowania pochodnej do badania monotoniczności funkcji oraz rozwiązywania zadań optymalizacyjnych. Pełny schemat z asymptotami i tabelą wykracza poza dosłowne brzmienie wymagań, ale poszczególne kroki — dziedzina, miejsca zerowe, granice, monotoniczność — są w podstawie i mogą wystąpić osobno.

Q: Czy kolejność kroków można zmienić?

W praktyce nie. Każdy krok korzysta z wyników poprzedniego: bez dziedziny nie wiadomo, gdzie badać monotoniczność, bez miejsc zerowych pochodnej nie ma jak podzielić osi, a bez znaków pochodnej nie da się wypełnić tabeli. Jedyna dowolność dotyczy sprawdzania parzystości — można je zrobić w dowolnym momencie przed tabelą.

Q: Czy funkcja może mieć asymptotę poziomą i ukośną naraz?

Po tej samej stronie nigdy — to wyklucza się wzajemnie, bo funkcja nie może jednocześnie dążyć do skończonej liczby i uciekać wzdłuż prostej nachylonej. Może natomiast mieć poziomą w jedną stronę, a ukośną w drugą; wtedy granice w - i + trzeba policzyć osobno. Znalezienie obu w tę samą stronę zawsze oznacza błąd.

Q: Co wpisać do tabeli w punkcie, którego nie ma w dziedzinie?

W wierszu pochodnej kreskę, bo pochodnej tam nie ma, a w wierszu funkcji informację o granicach jednostronnych — na przykład - z lewej i + z prawej. Sama wartość funkcji nie istnieje, więc nie wolno wpisać tam liczby. Taki punkt musi w tabeli wystąpić, bo dzieli dziedzinę na przedziały.

Q: Po co rysować szkic, skoro tabela ma już wszystko?

Bo szkic jest kontrolą, a nie ozdobnikiem. Tabelę wewnętrznie sprzeczną da się napisać i nie widać tego w liczbach — na przykład funkcję rosnącą na przedziale, której wartość na końcu jest mniejsza niż na początku. Przy rysowaniu taka sprzeczność wychodzi natychmiast, bo krzywej po prostu nie da się poprowadzić.

Badanie przebiegu zmienności to najdłuższe zadanie w całej analizie licealnej — i jednocześnie najbardziej przewidywalne. Kroki są zawsze te same i zawsze w tej samej kolejności, więc trudność polega nie na pomyśle, tylko na tym, żeby niczego nie pominąć. Ta strona zbiera cały schemat w jednym miejscu; poszczególne narzędzia — dziedzinę, pochodną, ekstrema, asymptoty — opisujemy osobno.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Schemat: siedem kroków, zawsze w tej kolejności

Kolejność nie jest kwestią gustu. Każdy krok korzysta z wyników poprzedniego, a odwrócenie ich prowadzi do liczenia rzeczy, które za chwilę okażą się niepotrzebne albo błędne.

1. Dziedzina. Bez niej wszystko dalsze jest zawieszone w próżni — nie ma sensu badać monotoniczności na przedziale, w którym funkcja nie istnieje.
2. Miejsca zerowe i znak funkcji. Punkty przecięcia z osiami; przy okazji wychodzi punkt $(0, f(0))$ , o ile zero należy do dziedziny.
3. Parzystość i okresowość — jeśli występują, skracają pracę o połowę albo więcej.
4. Granice na krańcach dziedziny i asymptoty. To one mówią, dokąd wykres ucieka.
5. Pochodna: monotoniczność i ekstrema. Rdzeń zadania — i ten krok podstawa wymienia wprost, słowo w słowo (dział XIII, zakres rozszerzony, pkt 5).
6. Tabela przebiegu zmienności. Wszystkie ustalenia zebrane w jednym obrazku.
7. Szkic wykresu. Kontrola spójności: jeśli nie da się narysować krzywej zgodnej z tabelą, gdzieś jest błąd.

Krok siódmy bywa traktowany jako ozdobnik, a jest najtańszą kontrolą całego zadania. Tabela może zawierać sprzeczność, której nie widać w liczbach — na przykład funkcję rosnącą na przedziale, która na jego początku ma wartość większą niż na końcu. Przy rysowaniu taka sprzeczność wychodzi natychmiast.

Który krok jest w podstawie, a który wykracza

Dział XIII, zakres rozszerzony, punkt 5 brzmi dosłownie: „stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji”, a punkt 6: „rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej”. To pokrywa krok 5 i sens kroku 6.

Granice stoją w tym samym dziale XIII, punkt 1 zakresu rozszerzonego: „oblicza granice funkcji (w tym jednostronne)”. Krok 4 jest więc programowy tak samo jak krok 5.

Dziedzina pojawia się w podstawie w dziale V (Funkcje), zakres podstawowy, punkt 4 — ale wyłącznie jako odczyt z wykresu: „odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności…”. Wyznaczania dziedziny ze wzoru podstawa osobnym punktem nie wymienia; wchodzi ono tylnymi drzwiami przy równaniach wymiernych (dział III, zakres rozszerzony, pkt 7) i przy działaniach na wyrażeniach wymiernych.

Asymptoty — słowo „asymptota” nie pada w podstawie ani razu (sprawdzone w całym dokumencie dla matematyki, oba zakresy). U nas są opisane jako element ponadprogramowy. W zadaniu maturalnym polecenie zwykle nie każe ich wyznaczać; w pełnym badaniu przebiegu są standardem, bo bez nich wykresu funkcji wymiernej nie da się narysować.

Pierwsze cztery kroki to powtórka pojęć poznanych dużo wcześniej — dziedziny, miejsc zerowych, parzystości — i każde z nich ma osobne omówienie w spisie tematów o funkcjach.

Schemat badania przebiegu zmienności funkcji w siedmiu krokach: dziedzina, miejsca zerowe, parzystość, granice i asymptoty, pochodna, tabela, szkic wykresu — Badanie przebiegu zmienności funkcji: siedem kroków w stałej kolejności.

2Kroki 1–4: zanim pojawi się pochodna

Dziedzina. Argument wykluczają najczęściej trzy rzeczy: zero w mianowniku, liczba ujemna pod pierwiastkiem parzystego stopnia i wyrażenie niedodatnie pod logarytmem. Do tego dochodzą dziedziny tangensa i cotangensa, jeśli funkcja je zawiera. Dziedzinę zapisujemy jako sumę przedziałów i od tego momentu wszystko dzieje się tylko w niej.

Miejsca zerowe. Rozwiązujemy $f(x) = 0$ . Dla funkcji wymiernej wystarczy przyrównać do zera licznik — pamiętając o sprawdzeniu, czy otrzymane liczby należą do dziedziny.

Tu warto od razu przypomnieć zasadę zapisu: jeśli miejsce zerowe wychodzi $\sqrt{3}$ , zostaje $\sqrt{3}$ . Zamiana na $1{,}73$ nie jest uproszczeniem, tylko utratą dokładności — a przy porównywaniu z krańcami przedziałów bywa źródłem błędu.

Parzystość. Sprawdzamy, czy $f(-x) = f(x)$ (funkcja parzysta, wykres symetryczny względem osi $OY$ ) albo $f(-x) = -f(x)$ (nieparzysta, symetria względem początku układu). Jeśli tak, wystarczy zbadać połowę dziedziny i odbić wynik.

Granice i asymptoty. Liczymy granice na wszystkich krańcach dziedziny — także jednostronne w punktach wyrzuconych z dziedziny. Z tych granic odczytujemy asymptoty:

pionowa $x = a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest nieskończona,
pozioma $y = b$ — gdy $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = b$ (liczba skończona),
ukośna $y = ax + b$ — gdy granica w nieskończoności jest nieskończona, a istnieją $a = \lim\frac{f(x)}{x}$ oraz $b = \lim\left(f(x) - ax\right)$ , przy czym $a \neq 0$ .

Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie po tej samej stronie: jeśli funkcja dąży do skończonej liczby, nie może jednocześnie uciekać wzdłuż prostej nachylonej. Znalezienie obu naraz w tę samą stronę zawsze oznacza błąd rachunkowy.

Dla funkcji wymiernej jest prosta reguła kciuka: gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika — asymptota pozioma $y = 0$ ; gdy równy — pozioma równa ilorazowi współczynników wiodących; gdy o jeden większy — ukośna; gdy większy o dwa lub więcej — nie ma ani poziomej, ani ukośnej. Te cztery przypadki wyczerpują wszystkie możliwości, więc jeśli żaden nie pasuje, coś jest źle policzone.

Asymptoty wykresu funkcji: pionowa, pozioma i ukośna oraz reguła dla funkcji wymiernej według stopni licznika i mianownika — Trzy rodzaje asymptot i reguła porównania stopni dla funkcji wymiernej.

3Krok 5: pochodna, monotoniczność, ekstrema

To rdzeń zadania. Liczymy $f'(x)$ , wyznaczamy jej dziedzinę (bywa węższa niż dziedzina $f$ ) i rozwiązujemy $f'(x) = 0$ .

f'(x) > 0 \text{ w } (a,b) \Rightarrow f \text{ rosnąca w } (a,b) \qquad f'(x) < 0 \text{ w } (a,b) \Rightarrow f \text{ malejąca w } (a,b)

Miejsca zerowe pochodnej dzielą dziedzinę na przedziały. W każdym z nich pochodna ma stały znak, więc wystarczy podstawić jedną wygodną liczbę z wnętrza przedziału, żeby ten znak ustalić.

Warunek konieczny to nie warunek wystarczający

Zerowanie się pochodnej nie gwarantuje ekstremum. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak.

Klasyczny kontrprzykład: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$ , ale pochodna $3x^2$ jest nieujemna po obu stronach zera — funkcja rośnie bez przerwy. To punkt przegięcia z poziomą styczną, nie ekstremum.

Praktycznie: znak zmienia się z $+$ na $-$ → maksimum; z $-$ na $+$ → minimum; bez zmiany → żadnego ekstremum, choć punkt trafia do tabeli.

Uwaga na punkty, w których pochodna nie istnieje, a funkcja tak — jak $f(x) = |x|$ w zerze. Tam też może być ekstremum i trzeba je rozpatrzyć osobno, bo równanie $f'(x)=0$ ich nie wskaże.

Wartości ekstremów liczymy przez podstawienie do funkcji, nie do pochodnej. To pomyłka na tyle częsta, że warto ją sobie powiedzieć na głos: pochodna wskazuje gdzie, funkcja mówi ile.

Szczegóły techniczne i przypadki graniczne opisujemy przy ekstremach lokalnych; tutaj interesuje nas głównie to, jak wpisać wynik do tabeli.

4Krok 6: tabela przebiegu zmienności

Tabela ma trzy wiersze i tyle kolumn, ile przedziałów i punktów granicznych. Buduje się ją zawsze tak samo:

wiersz $x$ — punkty w kolejności rosnącej: krańce dziedziny, punkty wyrzucone, miejsca zerowe pochodnej, a między nimi przedziały,
wiersz $f'(x)$ — znak pochodnej w każdym przedziale ( $+$ albo $-$ ) oraz $0$ w punktach stacjonarnych; w punktach spoza dziedziny stawiamy kreskę,
wiersz $f(x)$ — strzałka rosnąca albo malejąca w przedziałach, a w punktach szczególnych konkretna wartość albo granica.

Wiersz $f'$ wypełnia się przed wierszem $f$ , bo to znak pochodnej dyktuje kierunek strzałek. Odwrotna kolejność jest zaproszeniem do zgadywania.

W kolumnach odpowiadających krańcom dziedziny wpisujemy granice, nie wartości — bo wartości tam nie ma. Dla funkcji wymiernej z asymptotą pionową w $x = 1$ w kolumnie „ $1$ ” stoi kreska w wierszu $f'$ i informacja o granicach jednostronnych w wierszu $f$ .

Gotowa tabela zawiera już komplet informacji do szkicu: gdzie wykres rośnie, gdzie maleje, gdzie ma wierzchołki, dokąd ucieka. Szkic jest jej przepisaniem na obrazek — i kontrolą, bo tabelę wewnętrznie sprzeczną da się napisać, a taki wykres narysować już nie.

Ostatnia rzecz, o której łatwo zapomnieć: tabela musi obejmować całą dziedzinę. Jeśli dziedzina to $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ , w tabeli muszą wystąpić oba kawałki, a nie tylko ten, w którym coś ciekawego się dzieje.

5Najczęstsze pułapki i jak je omijać

Pułapka pierwsza: dziedzina liczona po fakcie. Jeśli wyznaczysz ekstremum, a dopiero potem sprawdzisz dziedzinę, może się okazać, że znaleziony punkt do niej nie należy. Cała praca idzie wtedy do kosza. Dziedzina jest krokiem pierwszym z powodu, nie z tradycji.

Pułapka druga: skracanie ułamka bez zastrzeżenia. Wyrażenie $\frac{x^2-1}{x-1}$ skraca się do $x+1$ , ale tylko dla $x \neq 1$ . Dziedzina zostaje okrojona na zawsze, a w punkcie $x=1$ wykres ma dziurę, nie asymptotę. Skracanie przed wyznaczeniem dziedziny to najbardziej kosztowny skrót w tym zadaniu.

Pułapka trzecia: znak pochodnej odczytany z jednego punktu na cały wykres. Znak jest stały wewnątrz przedziału między miejscami zerowymi pochodnej — ale nie ponad nimi. Trzeba wziąć po jednej liczbie z każdego przedziału osobno.

Pułapka czwarta: gubienie punktów spoza dziedziny przy dzieleniu osi. Oś dzielą nie tylko miejsca zerowe pochodnej, ale też punkty wyrzucone z dziedziny. Pominięcie ich scala dwa przedziały w jeden i daje bzdurny wniosek typu „funkcja rosnąca na całej prostej”, choć w środku ma asymptotę pionową.

Kontrola końcowa warta dziesięciu sekund: czy liczba przedziałów w tabeli zgadza się z liczbą punktów szczególnych. Jeśli punktów granicznych jest $k$ , przedziałów musi być $k+1$ (licząc te nieskończone). Każda inna liczba oznacza, że coś wypadło.

6Przykłady krok po kroku

Trzy pełne badania — wielomian, funkcja wymierna z asymptotą poziomą i funkcja wymierna z asymptotą ukośną — oraz czwarty, krótki przykład: zerowa pochodna, która ekstremum nie daje.

Przykład 1 Wielomian — pełny schemat

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x) = x^3 - 3x$ .

Dziedzina: wielomian jest określony wszędzie, więc $D = \mathbb{R}$ .
Miejsca zerowe: $x^3 - 3x = x(x^2-3) = 0$ , stąd $x = 0$ oraz $x = \pm\sqrt{3}$ . Zostawiam postać dokładną $\sqrt{3}$ — nie zamieniam na $1{,}73$ .
Parzystość: $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ , więc funkcja jest nieparzysta — wykres jest symetryczny względem początku układu.
Granice na krańcach: $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ , $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ . Asymptot nie ma: wielomian stopnia trzeciego rośnie szybciej niż każda prosta, więc granica $\frac{f(x)}{x} = x^2-3$ jest nieskończona.
Pochodna: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$ . Zeruje się dla $x = -1$ i $x = 1$ .
Znaki pochodnej: biorę po jednej liczbie z każdego przedziału. Dla $x=-2$ : $3(4-1)=9>0$ . Dla $x=0$ : $3(0-1)=-3<0$ . Dla $x=2$ : $3(4-1)=9>0$ . Zatem funkcja rośnie na $(-\infty,-1)$ , maleje na $(-1,1)$ i rośnie na $(1,\infty)$ .
Ekstrema: w $x=-1$ znak zmienia się z $+$ na $-$ , więc jest tam maksimum o wartości $f(-1) = -1 + 3 = 2$ . W $x=1$ znak zmienia się z $-$ na $+$ , więc jest minimum o wartości $f(1) = 1 - 3 = -2$ .
Kontrola: funkcja jest nieparzysta, więc maksimum i minimum muszą być symetryczne względem początku układu — i są: punkty $(-1, 2)$ oraz $(1, -2)$ ✓.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$ ; miejsca zerowe $-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3$ ; maksimum lokalne $f(-1)=2$ , minimum lokalne $f(1)=-2$ ; rośnie na $(-\infty,-1)$ i $(1,\infty)$ , maleje na $(-1,1)$ ; brak asymptot.

Przykład 2 Funkcja wymierna z asymptotą poziomą

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$ .

Dziedzina: mianownik zeruje się dla $x=1$ , więc $D = (-\infty,1)\cup(1,\infty)$ .
Miejsca zerowe: licznik $x=0$ i ta liczba należy do dziedziny, więc wykres przecina osie w punkcie $(0,0)$ .
Asymptota pionowa: granice jednostronne w jedynce. Dla $x\to1^-$ licznik dąży do $1$ , a mianownik do zera od strony ujemnej, więc $f(x)\to-\infty$ . Dla $x\to1^+$ mianownik dąży do zera od dodatniej, więc $f(x)\to\infty$ . Prosta $x=1$ jest asymptotą pionową.
Asymptota pozioma: stopnie licznika i mianownika są równe (oba $1$ ), więc granica w nieskończoności to iloraz współczynników wiodących: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x-1} = 1$ . Prosta $y=1$ jest asymptotą poziomą obustronną — i tym samym asymptoty ukośnej być nie może.
Pochodna: ze wzoru na pochodną ilorazu $f'(x) = \dfrac{1\cdot(x-1) - x\cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x-1)^2}$ .
Znak pochodnej: licznik jest stale $-1$ , a mianownik jako kwadrat jest dodatni wszędzie poza $x=1$ . Zatem $f'(x)<0$ na całej dziedzinie — funkcja maleje na każdym z dwóch przedziałów osobno.
Ekstrema: pochodna nigdy się nie zeruje, więc ekstremów nie ma.
Uwaga o zapisie: nie wolno napisać „funkcja malejąca na $D$ ”, bo między przedziałami leży asymptota — wartości po prawej stronie jedynki są większe niż po lewej. Poprawnie: malejąca na $(-\infty,1)$ i malejąca na $(1,\infty)$ .

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; punkt $(0,0)$ ; asymptota pionowa $x=1$ , pozioma $y=1$ ; funkcja malejąca na każdym przedziale osobno; brak ekstremów.

Przykład 3 Funkcja wymierna z asymptotą ukośną

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ .

Dziedzina: $D = (-\infty,1)\cup(1,\infty)$ , tak jak poprzednio.
Miejsca zerowe: licznik $x^2=0$ daje $x=0$ (podwójnie), więc wykres dotyka osi w punkcie $(0,0)$ .
Asymptota pionowa: $x=1$ — dla $x\to1^-$ mamy $f(x)\to-\infty$ , dla $x\to1^+$ mamy $f(x)\to\infty$ .
Asymptota ukośna: stopień licznika jest o jeden większy, więc dzielę: $\dfrac{x^2}{x-1} = x+1+\dfrac{1}{x-1}$ . Sprawdzenie: $(x+1)(x-1)+1 = x^2-1+1 = x^2$ ✓. Ponieważ $\frac{1}{x-1}\to0$ , prosta $y=x+1$ jest asymptotą ukośną.
Pochodna: $f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ .
Miejsca zerowe pochodnej: $x=0$ oraz $x=2$ . Oś dzielą trzy punkty graniczne — te dwa plus $x=1$ spoza dziedziny — więc przedziałów jest o jeden więcej, czyli cztery: $(-\infty,0)$ , $(0,1)$ , $(1,2)$ , $(2,\infty)$ .
Znaki: mianownik jest dodatni zawsze, więc decyduje licznik $x(x-2)$ . Dla $x=-1$ : $(-1)(-3)=3>0$ . Dla $x=\frac12$ : $\frac12\cdot(-\frac32)<0$ . Dla $x=\frac32$ : $\frac32\cdot(-\frac12)<0$ . Dla $x=3$ : $3\cdot1=3>0$ .
Ekstrema: w $x=0$ znak zmienia się z $+$ na $-$ → maksimum lokalne, $f(0)=0$ . W $x=2$ z $-$ na $+$ → minimum lokalne, $f(2)=\frac{4}{1}=4$ .
Kontrola zaskakująca, ale poprawna: maksimum lokalne ma wartość $0$ , a minimum lokalne wartość $4$ — czyli minimum leży wyżej niż maksimum. To możliwe, bo są to ekstrema lokalne i leżą po przeciwnych stronach asymptoty pionowej, w rozłącznych częściach dziedziny ✓.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; asymptota pionowa $x=1$ , ukośna $y=x+1$ ; maksimum lokalne $f(0)=0$ , minimum lokalne $f(2)=4$ ; rośnie na $(-\infty,0)$ i $(2,\infty)$ , maleje na $(0,1)$ i $(1,2)$ .

Przykład 4 Kontrprzykład: zerowa pochodna bez ekstremum

Wykaż, że funkcja $f(x)=x^3$ nie ma ekstremum, mimo że $f'(0)=0$ .

Pochodna: $f'(x) = 3x^2$ , więc równanie $f'(x)=0$ daje $x=0$ — warunek konieczny jest spełniony.
Znak pochodnej po obu stronach: dla $x=-1$ mamy $f'(-1)=3>0$ , dla $x=1$ mamy $f'(1)=3>0$ . Znak jest taki sam po obu stronach.
Skoro pochodna nie zmienia znaku, funkcja rośnie zarówno przed zerem, jak i za nim — a rosnąca funkcja nie ma w środku ani maksimum, ani minimum.
Sprawdzenie na wartościach: $f(-0{,}1) = -0{,}001 < f(0) = 0 < f(0{,}1) = 0{,}001$ . Wartość w zerze nie jest ani największa, ani najmniejsza w otoczeniu ✓.
Punkt $x=0$ trafia jednak do tabeli: to punkt przegięcia z poziomą styczną, w którym wykres na chwilę się wypłaszcza, nie zmieniając kierunku.

Odpowiedź: Funkcja $f(x)=x^3$ jest rosnąca na całej prostej i nie ma ekstremów; punkt $x=0$ jest punktem przegięcia z poziomą styczną.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które psują całe zadanie, a nie tylko jeden jego krok.

Wyznaczanie dziedziny na końcu albo wcale

Skąd się bierze: Wszystkie kolejne kroki dzieją się „wewnątrz” dziedziny. Policzone ekstremum w punkcie spoza dziedziny jest fikcją, a przedział monotoniczności przecinający punkt wyrzucony — zdaniem fałszywym. Poprawianie tego na końcu zwykle oznacza przeliczenie zadania od nowa.

Jak zrobić dobrze: Zapisz dziedzinę jako pierwszą linijkę rozwiązania i wracaj do niej przy każdym kolejnym kroku — zwłaszcza przy dzieleniu osi na przedziały, gdzie punkty wyrzucone są równie ważne jak miejsca zerowe pochodnej.

Uznanie każdego miejsca zerowego pochodnej za ekstremum

Skąd się bierze: Zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym, nie wystarczającym. Funkcja $x^3$ ma $f'(0)=0$ i żadnego ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku — jest nieujemna po obu stronach zera.

Jak zrobić dobrze: Po znalezieniu miejsc zerowych pochodnej zawsze sprawdź znak po obu stronach każdego z nich. Zmiana z $+$ na $-$ to maksimum, z $-$ na $+$ minimum, brak zmiany — brak ekstremum.

Pisanie „funkcja malejąca w całej dziedzinie”, gdy dziedzina jest rozspójniona

Skąd się bierze: Dla $f(x)=\frac{x}{x-1}$ pochodna jest ujemna wszędzie, ale między przedziałami leży asymptota pionowa. Wartości po prawej stronie asymptoty są większe niż po lewej, więc funkcja jako całość malejąca nie jest — definicja monotoniczności wymaga porównywania dowolnych dwóch argumentów.

Jak zrobić dobrze: Wypisuj przedziały monotoniczności osobno, rozdzielone słowem „oraz”, nigdy nie łącz ich sumą zbiorów. Zapis „malejąca na $(-\infty,1)$ oraz na $(1,\infty)$ ” jest poprawny, a „malejąca na $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ” — nie.

Skracanie wyrażenia przed wyznaczeniem dziedziny

Skąd się bierze: Ułamek $\frac{x^2-1}{x-1}$ skraca się do $x+1$ , ale dziedzina pozostaje bez jedynki. Po skróceniu łatwo o tym zapomnieć i narysować prostą ciągłą, choć w punkcie $x=1$ wykres ma dziurę. Co gorsza, ktoś może tam doszukiwać się asymptoty, której nie ma.

Jak zrobić dobrze: Najpierw dziedzina z postaci wyjściowej, dopiero potem upraszczanie. Punkt usunięty przez skrócenie zaznacz w tabeli i na szkicu jako pustą kropkę — to punkt nieciągłości usuwalnej, nie asymptota.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Materiał PDF · sklep

Pochodna funkcji, matura z matematyki — 8 kart PDF z kluczem

8 kart pracy z matematyki do matury rozszerzonej: obliczanie pochodnych, wartość pochodnej w punkcie, styczna do wykresu…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Funkcja logarytmiczna — kartkówka, liceum klasa 3

Dziedzina, wartości funkcji, miejsce zerowe, przesunięcie wykresu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Funkcja wykładnicza — kartkówka, liceum klasa 3

Wartości funkcji, zbiór wartości, monotoniczność, wzór z dwóch punktów.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

8Pytania i odpowiedzi

Czy badanie przebiegu zmienności jest na maturze?

Jego trzon tak: dział XIII w zakresie rozszerzonym wymaga wprost stosowania pochodnej do badania monotoniczności funkcji oraz rozwiązywania zadań optymalizacyjnych. Pełny schemat z asymptotami i tabelą wykracza poza dosłowne brzmienie wymagań, ale poszczególne kroki — dziedzina, miejsca zerowe, granice, monotoniczność — są w podstawie i mogą wystąpić osobno.

Czy kolejność kroków można zmienić?

W praktyce nie. Każdy krok korzysta z wyników poprzedniego: bez dziedziny nie wiadomo, gdzie badać monotoniczność, bez miejsc zerowych pochodnej nie ma jak podzielić osi, a bez znaków pochodnej nie da się wypełnić tabeli. Jedyna dowolność dotyczy sprawdzania parzystości — można je zrobić w dowolnym momencie przed tabelą.

Czy funkcja może mieć asymptotę poziomą i ukośną naraz?

Po tej samej stronie nigdy — to wyklucza się wzajemnie, bo funkcja nie może jednocześnie dążyć do skończonej liczby i uciekać wzdłuż prostej nachylonej. Może natomiast mieć poziomą w jedną stronę, a ukośną w drugą; wtedy granice w $-\infty$ i $+\infty$ trzeba policzyć osobno. Znalezienie obu w tę samą stronę zawsze oznacza błąd.

Co wpisać do tabeli w punkcie, którego nie ma w dziedzinie?

W wierszu pochodnej kreskę, bo pochodnej tam nie ma, a w wierszu funkcji informację o granicach jednostronnych — na przykład $-\infty$ z lewej i $+\infty$ z prawej. Sama wartość funkcji nie istnieje, więc nie wolno wpisać tam liczby. Taki punkt musi w tabeli wystąpić, bo dzieli dziedzinę na przedziały.

Po co rysować szkic, skoro tabela ma już wszystko?

Bo szkic jest kontrolą, a nie ozdobnikiem. Tabelę wewnętrznie sprzeczną da się napisać i nie widać tego w liczbach — na przykład funkcję rosnącą na przedziale, której wartość na końcu jest mniejsza niż na początku. Przy rysowaniu taka sprzeczność wychodzi natychmiast, bo krzywej po prostu nie da się poprowadzić.

Czytaj dalej

Dziedzina funkcjiKrok pierwszy schematu — co wyklucza argument Ekstrema lokalne funkcjiWarunek konieczny i wystarczający, szczegółowo Asymptoty wykresu funkcjiPionowa, pozioma i ukośna — jak je wyznaczać PochodneDefinicja i interpretacja geometryczna Wzory pochodnychTabela wzorów wraz z pochodną ilorazu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.