Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Zaczynając od punktu (0, 0), budujemy łamaną zwijającą się w spiralę: pierwszy odcinek jest poziomy (równoległy do osi x ) i ma długość 1, a każdy następny jest prostopadły do poprzedniego. Długości kolejnych odcinków to 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — co dwa odcinki rosną o 1. Kolejne odcinki…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 13 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zaczynając od punktu

(0, 0)

, budujemy łamaną zwijającą się w spiralę: pierwszy odcinek jest poziomy (równoległy do osi

x

) i ma długość $\boldsymbol{1}$ , a każdy następny jest prostopadły do poprzedniego. Długości kolejnych odcinków to $\boldsymbol{1}$ , $\boldsymbol{1}$ , $\boldsymbol{2}$ , $\boldsymbol{2}$ , $\boldsymbol{3}$ , $\boldsymbol{3}$ , $\boldsymbol{4}$ , $\boldsymbol{4}$ , … — co dwa odcinki rosną o

1

. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeżeli $n$ jest liczbą parzystą, to odcinek o numerze $n$ jest równoległy do osi $y$ .	P	F
Jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to długość odcinka o numerze $n$ jest równa $\dfrac{n}{2} + 1$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie $\boldsymbol{1}$ . Odcinki na przemian zmieniają kierunek: pierwszy poziomy, drugi pionowy, trzeci poziomy, czwarty pionowy…
Odcinki o numerach $\textcolor{#16A06A}{\text{nieparzystych}}$ są więc poziome (równoległe do osi $x$ ), a o numerach $\textcolor{#E0453A}{\text{parzystych}}$ — pionowe, czyli równoległe do osi $y$ ✓ — prawda.
Zdanie $\boldsymbol{2}$ . Wystarczy jeden kontrprzykład. Weźmy najprostszą liczbę nieparzystą, $n = 1$ .
Z treści wiemy, że pierwszy odcinek ma długość $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Podany wzór daje natomiast $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{2} + 1 = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ .
Ponieważ $\textcolor{#16A06A}{1} \ne \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ , wzór jest błędny już dla pierwszego odcinka — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „jeżeli…, to…”, wystarczy jeden przypadek, w którym nie działa. Zaczynaj zawsze od najmniejszej możliwej liczby — jest najłatwiejsza do sprawdzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie wzoru dla dużych $n$ i gubienie się w rachunkach, zamiast od razu podstawić $n = 1$ . Drugi błąd: mylenie „równoległy do osi $y$ ” (pionowy) z „równoległy do osi $x$ ” (poziomy).