Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – zadania mieszane i odkrywanie reguł

Zaczynając od punktu (0,0), budujemy łamaną zwijającą się w spiralę. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi, a ich długości rosną według reguły widocznej na rysunku: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — czyli co dwa odcinki długość zwiększa się o 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 6 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zaczynając od punktu

(0,0)

, budujemy łamaną zwijającą się w spiralę. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi, a ich długości rosną według reguły widocznej na rysunku: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — czyli co dwa odcinki długość zwiększa się o 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Łamana złożona z początkowych 7 odcinków ma długość 16.	P	F
Długość setnego odcinka łamanej jest równa 100.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Wypisujemy długości siedmiu pierwszych odcinków: $\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{4}$ .
Sumujemy: $1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Szukamy reguły dla dowolnego numeru. Skoro każda długość powtarza się dwa razy, to długość odcinka o numerze $n$ jest mniej więcej połową tego numeru.
Dokładniej: odcinki 1 i 2 mają długość 1, odcinki 3 i 4 — długość 2, odcinki 5 i 6 — długość 3…
Odcinki $\textcolor{#E0453A}{99}$ i $\textcolor{#E0453A}{100}$ mają zatem długość $100 : \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{50}$ , a nie 100 — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zauważ, że numer odcinka rośnie dwa razy szybciej niż jego długość. Zawsze warto sprawdzić taką regułę na kilku małych przypadkach, zanim przeniesie się ją na setny wyraz.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: przyjęcie, że „ $n$ -ty odcinek ma długość $n$ ”. Tak byłoby, gdyby każda długość występowała raz — a tu każda pojawia się dwukrotnie, więc długość rośnie o połowę wolniej.