Zadanie z E8 (materiały CKE) – pierwiastki

Odpowiedź: $3\sqrt5 < 7$, bo $45 < 49$

1. Upraszczamy mianownik — wyłączamy czynnik: $\sqrt{12} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3$.
2. Mianownik: $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3 + 5\sqrt3 = 7\sqrt3$ (dodajemy, bo pierwiastki są takie same).
3. Całe wyrażenie: $\dfrac{21\sqrt{15}}{7\sqrt3} = \dfrac{21}{7} \cdot \sqrt{\dfrac{15}{3}} = 3\sqrt5$.
4. Wykazujemy, że $3\sqrt5 < 7$. Wciągamy 3 pod pierwiastek: $\textcolor{#E0453A}{3}\sqrt5 = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{9} \cdot 5} = \sqrt{45}$.
5. Liczbę 7 też zapisujemy jako pierwiastek: $7 = \sqrt{49}$.
6. Skoro $45 < 49$, to $3\sqrt5 < 7$. co należało wykazać

💡 Wskazówka: W dowodach z pierwiastkami sprowadź obie strony do postaci $\sqrt{\ }$ — wtedy wystarczy porównać liczby pod pierwiastkiem.

⚠ Częsty błąd: dodanie pierwiastków o różnych liczbach ($\sqrt{12} + 5\sqrt3 \ne 6\sqrt{15}$) — najpierw trzeba wyłączyć czynnik.