Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2011, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (grudzień 2011) – prostopadłościan i sześcian

Wojtek wykonał model sześcianu — sam „szkielet” złożony z 12 listewek biegnących wzdłuż krawędzi. Przekrój poprzeczny listewki jest kwadratem o boku 2 cm, a krawędź sześcianu ma długość 20 cm. Oblicz masę tego modelu, wiedząc, że 1 cm³ drewna, z którego go wykonano, ma masę 0,8 g. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

4pkt · trudniejsze

Zadanie 26 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)4 pkttrudniejsze

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 665,6 g

Krok 1 — objętość jednej listewki. Listewka to prostopadłościan $\textcolor{#16A06A}{20} \times \textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2}$ :
$\textcolor{#16A06A}{20} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 80$ cm³.
Krok 2 — dwanaście listewek. $12 \cdot 80 = \textcolor{#E0453A}{960}$ cm³ — ale to jeszcze nie jest objętość modelu.
Krok 3 — poprawka na narożniki. W każdym z ośmiu narożników spotykają się trzy listewki i mają tam wspólny sześcianik $\textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2} = 8$ cm³.
Taki sześcianik policzyliśmy trzy razy zamiast raz, czyli o $2 \cdot 8 = 16$ cm³ za dużo na każdy narożnik.
Nadmiar łącznie: $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 16 = \textcolor{#E0453A}{128}$ cm³.
Krok 4 — objętość modelu. $\textcolor{#E0453A}{960} - \textcolor{#E0453A}{128} = \textcolor{#E0453A}{832}$ cm³.
Krok 5 — masa. $\textcolor{#E0453A}{832} \cdot 0{,}8 = 665{,}6$ g.
Odpowiedź: model waży 665,6 g.

💡 Wskazówka: Ten sam schemat co przy szkielecie z klocków: policz części osobno, a potem odejmij to, co policzyłeś wielokrotnie. W narożniku, gdzie schodzą się trzy elementy, nadmiar to dwa dodatkowe sześcianiki.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $12 \cdot 80 = 960$ cm³ jako objętości modelu (masa wyszłaby $768$ g). Listewki nakładają się w narożnikach, a drewno nie może być tam policzone trzykrotnie.