Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2025

Zadanie z E8 (czerwiec 2025) – układ współrzędnych

W układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kolejne wierzchołki A = (-3,-1) i B = (1,-1) pewnego czworokąta ABCD. Pozostałe wierzchołki mają współrzędne C = (3, yC) oraz D = (-1, yD), gdzie yC jest liczbą całkowitą dodatnią oraz yC = yD. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono kolejne wierzchołki

A = (-3,-1)

B = (1,-1)

pewnego czworokąta

ABCD

. Pozostałe wierzchołki mają współrzędne

C = (3, y_C)

oraz

D = (-1, y_D)

, gdzie

y_C

jest liczbą całkowitą dodatnią oraz

y_C = y_D

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.	P	F
Dla $y_C = y_D = 3$ czworokąt $ABCD$ jest rombem.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Czworokąt jest równoległobokiem, gdy jedna para przeciwległych boków jest równoległa i równej długości. Wystarczy porównać przesunięcia.
Z $A$ do $B$ : $\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{-3} \to \textcolor{#16A06A}{1}$ , wysokość bez zmian).
Z $D$ do $C$ : $\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{-1} \to \textcolor{#16A06A}{3}$ , a $y_C = y_D$ ).
Przesunięcia są identyczne, więc $AB$ i $DC$ są równoległe i równe — czworokąt jest równoległobokiem, niezależnie od wartości $y_C$ — prawda.
Zdanie 2. W rombie wszystkie boki są równe. Dla $y_C = y_D = 3$ :
$|AB| = \textcolor{#16A06A}{4}$
$|BC| = \sqrt{(\textcolor{#16A06A}{3}-\textcolor{#16A06A}{1})^2 + (\textcolor{#16A06A}{3}-(\textcolor{#16A06A}{-1}))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$
$\textcolor{#16A06A}{4} \neq \sqrt{20}$ , więc to nie jest romb — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zamiast wzorów porównuj przesunięcia: „ile w prawo, ile w górę”. Jeśli z $A$ do $B$ idzie się tak samo jak z $D$ do $C$ , czworokąt na pewno jest równoległobokiem.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległobok „wygląda symetrycznie”, to musi być rombem. Romb wymaga równych boków, a nie tylko równoległych — trzeba je policzyć.