Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2019

Zadanie z E8 (czerwiec 2019) – układ współrzędnych

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A = (-2,-2), B = (3,-2) oraz C = (-2,6). Kąt prosty jest przy wierzchołku A. Dokończ zdanie. Przeciwprostokątna trójkąta ABC ma długość

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · średnie

Zadanie 7 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego

ABC

A = (-2,-2)

B = (3,-2)

oraz

C = (-2,6)

. Kąt prosty jest przy wierzchołku

A

. Dokończ zdanie.
Przeciwprostokątna trójkąta

ABC

ma długość

A. $\sqrt{39}$
B. $10$
C. $\sqrt{89}$
D. $13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — przyprostokątne. Obie są równoległe do osi, więc długości odczytujemy wprost z kratek.
$\textcolor{#16A06A}{AB}$ jest pozioma ( $A$ i $B$ mają tę samą wysokość $-2$ ): $|\textcolor{#16A06A}{AB}| = 3 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
$\textcolor{#16A06A}{AC}$ jest pionowa ( $A$ i $C$ mają ten sam $x = -2$ ): $|\textcolor{#16A06A}{AC}| = 6 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Krok 2 — przeciwprostokątna. Leży naprzeciw kąta prostego, czyli jest to bok $\textcolor{#E0453A}{BC}$ :
$|\textcolor{#E0453A}{BC}| = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: $\sqrt{89}$ nie da się uprościć ( $89$ jest liczbą pierwszą), więc zostawiamy wynik pod pierwiastkiem. Dla orientacji: $\sqrt{89} \approx 9{,}4$ — czyli więcej niż każda z przyprostokątnych ✓

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie różnic bez uwzględnienia znaków, np. $|AC| = 6 - 2 = 4$ . Przy przechodzeniu przez zero odległość to suma obu kawałków: $6$ w górę od osi i $2$ w dół.