Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Odpowiedź: 1 i 2 lub 6 i 6

1. Oznaczmy szukane wyniki jako $a$ (czwarty rzut) i $b$ (piąty). Liczba ma postać $312ab$.
2. Ważne ograniczenie: to wyniki rzutów kostką, więc $a$ i $b$ są liczbami od 1 do 6.
3. Warunek podzielności przez 9 — suma cyfr musi dzielić się przez 9: $3+1+2+a+b = \textcolor{#16A06A}{6 + a + b}$.
4. Skoro $a+b$ mieści się między 2 a 12, to $\textcolor{#16A06A}{6+a+b}$ mieści się między 8 a 18. Podzielne przez 9 w tym zakresie są tylko 9 i 18, czyli $a + b = \textcolor{#16A06A}{3}$ albo $a + b = \textcolor{#16A06A}{12}$.
5. Warunek parzystości — ostatnia cyfra $\textcolor{#E0453A}{b}$ musi być parzysta: $\textcolor{#E0453A}{b} \in \{2, 4, 6\}$.
6. Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{3}$: pary z kostki to $(1,2)$ i $(2,1)$. Parzyste $\textcolor{#E0453A}{b}$ ma tylko pierwsza → $a=1$, $b=2$ (liczba 31212).
7. Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{12}$: jedyna para z kostki to $(6,6)$, a $\textcolor{#E0453A}{b}=6$ jest parzyste ✓ → $a=6$, $b=6$ (liczba 31266).
8. Odpowiedź: Paweł wyrzucił 1 i 2 albo 6 i 6. Sprawdzenie: $31212 : 9 = 3468$, $31266 : 9 = 3474$ — obie parzyste ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „podaj wszystkie możliwości” nie wystarczy znaleźć jedną odpowiedź — trzeba pokazać, że innych nie ma. Dlatego ograniczamy zakres sumy $a+b$ i sprawdzamy wszystkie przypadki.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie, że kostka ma tylko cyfry 1–6, i dopisanie par typu $(0,3)$ czy $(9,3)$; (2) podanie tylko jednej możliwości — za co komisja odejmuje punkty, bo zadanie wyraźnie prosi o wszystkie.