Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (grudzień 2011) – podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Odpowiedź: dowód

1. Zaczynamy od rozłożenia liczby, do której zmierzamy: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$. Musimy więc pokazać, że nasza liczba zawiera czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$.
2. Oznaczmy tę liczbę przez $n$.
3. Skąd bierzemy piątkę? Skoro $n$ dzieli się przez $15 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$, to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#E0453A}{5}$.
4. Skąd bierzemy dwójkę? Skoro $n$ dzieli się przez $14 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 7$, to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#16A06A}{2}$.
5. Liczby $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1 (obie są pierwsze), więc z podzielności przez każdą z nich wynika podzielność przez ich iloczyn.
6. Zatem $n$ dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$. co należało uzasadnić
7. Można to też zapisać krócej: $n$ jest wielokrotnością $\mathrm{NWW}(15, 14) = 210$, a $210 = 10 \cdot 21$, więc $n$ dzieli się przez 10.

💡 Wskazówka: Schemat takich dowodów jest zawsze ten sam: rozłóż cel na czynniki pierwsze, a potem pokaż, skąd bierze się każdy z nich.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie jednego przykładu (np. 210) i uznanie sprawy za zamkniętą. Jeden przykład nie jest dowodem — trzeba rozumować dla dowolnej liczby $n$.