Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2012) – pola figur

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

4pkt · trudniejsze

Zadanie 34 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)4 pkttrudniejsze

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 256 cm²

Krok 1 — suma podstaw. Oba ramiona zajmują $2 \cdot 20 = 40$ cm obwodu, więc na podstawy zostaje $72 - 40 = \textcolor{#16A06A}{32}$ cm.
Krok 2 — poszczególne podstawy. Znamy sumę ( $\textcolor{#16A06A}{32}$ ) i różnicę ( $24$ ):
dłuższa $= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{32} + 24}{2} = \textcolor{#16A06A}{28}$ cm, krótsza $= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{32} - 24}{2} = \textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
Krok 3 — wysokość. Wysokości opuszczone z górnych wierzchołków odcinają na dole dwa równe kawałki po $24 : 2 = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm.
Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $20$ cm i przyprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{12}$ cm:
$\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{20^2 - \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm.
Krok 4 — pole. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{28} + \textcolor{#16A06A}{4}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{16} = 16 \cdot \textcolor{#E0453A}{16} = 256$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu wynosi 256 cm².

💡 Wskazówka: Schemat „suma i różnica”: większa liczba to $\tfrac{\text{suma} + \text{różnica}}{2}$ , mniejsza to $\tfrac{\text{suma} - \text{różnica}}{2}$ . Warto go znać na pamięć.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej różnicy podstaw (24) zamiast jej połowy (12). Różnica dzieli się równo na dwa kawałki po obu stronach trapezu.