Egzamin ósmoklasisty · matematyka · materiały CKE

Zadanie z E8 (materiały CKE) – wyrażenia algebraiczne

Nauczyciel zadał uczniom takie polecenie: Pomyśl pewną liczbę, pomnóż ją przez 3, do iloczynu dodaj 6, a otrzymany wynik podziel przez 3. Teraz od ostatniego wyniku odejmij liczbę, którą pomyślałeś na początku. Uzasadnij, że każdy uczeń powinien otrzymać taki sam końcowy wynik.

Rozwiązanie tekstem ↓

3pkt · średnie

Rozwiązanie zadania z matematyki – E8 (materiały CKE), wyrażenia algebraiczne: Nauczyciel zadał uczniom takie polecenie: Pomyśl pewną liczbę, pomnóż ją przez 3, do iloczynu dodaj… Odpowiedź: dowód — zawsze wychodzi 2 — Zadanie – E8 (materiały CKE), wyrażenia algebraiczne: rozwiązanie krok po kroku z odpowiedzią.

Treść zadania i rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25 (materiały CKE)3 pktśrednie

Nauczyciel zadał uczniom takie polecenie: Pomyśl pewną liczbę, pomnóż ją przez 3, do iloczynu dodaj 6, a otrzymany wynik podziel przez 3. Teraz od ostatniego wyniku odejmij liczbę, którą pomyślałeś na początku. Uzasadnij, że każdy uczeń powinien otrzymać taki sam końcowy wynik.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód — zawsze wychodzi 2

Oznaczmy pomyślaną liczbę przez $n$ — jest dowolna, więc dowód obejmie wszystkich uczniów naraz.
Pomnóż przez 3: $\textcolor{#16A06A}{3n}$ .
Dodaj 6: $\textcolor{#16A06A}{3n} + 6$ .
Podziel przez 3: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3n} + 6}{3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3n}}{3} + \dfrac{6}{3} = \textcolor{#E0453A}{n} + 2$ .
Odejmij pomyślaną liczbę: $(\textcolor{#E0453A}{n} + 2) - \textcolor{#E0453A}{n} = 2$ .
Litera $\textcolor{#E0453A}{n}$ się skróciła — wynik nie zależy więc od pomyślanej liczby.
Odpowiedź: każdy uczeń otrzyma 2, niezależnie od tego, jaką liczbę pomyślał — co należało uzasadnić.
Sprawdzenie na przykładzie: dla $n = 10$ mamy $30 \to 36 \to 12 \to 12 - 10 = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu sumy przez liczbę rozbij ułamek na dwa: $\dfrac{3n+6}{3} = \dfrac{3n}{3} + \dfrac{6}{3}$ . Widać wtedy od razu, co się skraca.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie zadania na jednej czy dwóch liczbach i napisanie „zawsze wychodzi 2”. Kilka przykładów nie jest dowodem — trzeba przeprowadzić rachunek na literze $n$ .

Sklep Nie każ mu liczyć!