Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2017

Zadanie z E8 (grudzień 2017) – potęgi

Kwadrat 3 × 3 wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych były takie same. Dane: pierwszy wiersz 5⁶, 5, 5⁸; drugi wiersz zaczyna się od 5⁷, środek to 5⁵; trzeci wiersz zaczyna się od 5². Oceń prawdziwość zdań.

Rozwiązanie tekstem ↓

1pkt · trudniejsze

Rozwiązanie zadania z matematyki – E8 (grudzień 2017), potęgi: Kwadrat 3 × 3 wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu… Odpowiedź: P, P — Zadanie – E8 (grudzień 2017), potęgi: rozwiązanie krok po kroku z odpowiedzią.

Treść zadania i rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Kwadrat

3 \times 3

wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych były takie same. Dane: pierwszy wiersz

5^6,\ 5,\ 5^8

; drugi wiersz zaczyna się od

5^7

, środek to

5^5

; trzeci wiersz zaczyna się od

5^2

. Oceń prawdziwość zdań.

Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy $5^{15}$ .	P	F
W zacieniowane pole (środek dolnego wiersza) należy wpisać liczbę $5^9$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Z pierwszego wiersza wyliczamy stałą: $\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{6}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#8B5CF6}{8}} = \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{6}+\textcolor{#2F80D8}{1}+\textcolor{#8B5CF6}{8}} = 5^{15}$ .
Skoro każdy wiersz, kolumna i przekątna dają ten sam iloczyn, to jest on równy $5^{15}$ — pierwsze zdanie prawdziwe.
Sprawdzamy środkową kolumnę: $\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{5}} \cdot x = 5^{15}$ .
Zatem $\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{1}+\textcolor{#2F80D8}{5}} \cdot x = 5^{15}$ , czyli $x = \textcolor{#16A06A}{5}^{15-6} = 5^{9}$ — drugie zdanie prawdziwe.