Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2016) – potęgi

Dane są liczby: I. 25⁴¹, II. 125⁴¹, III. 2⁸⁶², IV. 5⁴³¹. Która z tych liczb jest największa?

1pkt · trudniejsze

Dane są liczby: I.

25^{41}

, II.

125^{41}

, III.

2^{862}

, IV.

5^{431}

. Która z tych liczb jest największa?

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Sprowadzamy do potęg piątki: $25^{41} = (\textcolor{#16A06A}{5}^{2})^{41} = \textcolor{#16A06A}{5}^{82}$ , $125^{41} = (\textcolor{#16A06A}{5}^{3})^{41} = \textcolor{#16A06A}{5}^{123}$ .
Wśród potęg piątki największa jest IV: $\textcolor{#16A06A}{5}^{431}$ (bo $431 > 123 > 82$ ).
Zostaje porównać $\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{431}}$ z $2^{862}$ . Zauważmy, że $862 = 2 \cdot 431$ , więc $2^{862} = (2^2)^{431} = \textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{431}}$ .
Porównujemy $\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{431}}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{431}}$ — ten sam wykładnik, więc decyduje podstawa: $\textcolor{#16A06A}{5} > \textcolor{#16A06A}{4}$ .
Największa jest liczba IV.