Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2017

Zadanie z E8 (grudzień 2017) – obliczenia praktyczne

Ania i Jarek grali w kamienie. Kamienie układa się w dwóch stosach, a gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na wzięciu dowolnej liczby kamieni tylko z jednego ze stosów. Przegrywa ten, kto nie może już wykonać ruchu. Na pewnym etapie gry pierwszy stos zmalał do jednego kamienia, a na…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

2pkt · trudniejsze

Zadanie 20 (grudzień 2017)2 pkttrudniejsze

Ania i Jarek grali w kamienie. Kamienie układa się w dwóch stosach, a gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na wzięciu dowolnej liczby kamieni tylko z jednego ze stosów. Przegrywa ten, kto nie może już wykonać ruchu. Na pewnym etapie gry pierwszy stos zmalał do jednego kamienia, a na drugim były trzy kamienie. Ruch miała wykonać Ania. Uzasadnij, że aby zagwarantować sobie wygraną, Ania musiała wziąć dwa kamienie z drugiego stosu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód — jedyny ruch prowadzący do pozycji (1,1)

Kluczowa obserwacja: pozycja z dwoma równymi stosami jest przegrywająca dla tego, kto ma ruch. Cokolwiek zabierze z jednego stosu, przeciwnik zabierze tyle samo z drugiego — i tak aż do końca.
Ania powinna więc zostawić Jarkowi pozycję $\textcolor{#16A06A}{(1, 1)}$ . Z układu $(1, 3)$ osiąga to, biorąc $\textcolor{#E0453A}{2}$ kamienie z drugiego stosu.
Dlaczego to działa? Po ruchu Ani zostaje $\textcolor{#16A06A}{(1,1)}$ . Jarek musi wziąć jeden kamień (innego ruchu nie ma), zostaje $(1,0)$ . Ania bierze ostatni kamień, zostaje $(0,0)$ — Jarek nie może wykonać ruchu i przegrywa ✓
Dlaczego żaden inny ruch nie wystarczy? Sprawdźmy wszystkie pozostałe możliwości:
$(1,3) \to (0,3)$ : Jarek bierze wszystkie 3 i Ania nie ma ruchu — przegrywa.
$(1,3) \to (1,2)$ : Jarek doprowadza do $\textcolor{#16A06A}{(1,1)}$ i teraz to Ania jest w przegrywającej pozycji.
$(1,3) \to (1,0)$ : Jarek bierze ostatni kamień — Ania przegrywa.
Odpowiedź: jedynym ruchem gwarantującym wygraną jest zabranie dwóch kamieni z drugiego stosu — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: W takich grach szukaj pozycji przegrywającej i staraj się zostawić ją przeciwnikowi. Przy dwóch stosach jest to zawsze układ o równej liczbie kamieni.

⚠ Najczęstszy błąd: pokazanie tylko, że ruch Ani prowadzi do wygranej, bez sprawdzenia pozostałych. Słowo „musiała” w poleceniu wymaga wykazania, że inne ruchy przegrywają.