Silnia

Przykład 1 Skracanie ułamka

Oblicz $\frac{8!}{6!}$ oraz $\frac{9!}{7! \cdot 2!}$.

1. Rozwijam większą silnię tylko do mniejszej: $8! = 8 \cdot 7 \cdot \textcolor{#16A06A}{6!}$.
2. $\frac{8!}{6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 8 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{56}$.
3. Drugi ułamek: $9! = 9 \cdot 8 \cdot \textcolor{#16A06A}{7!}$, a $2! = 2$.
4. $\frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{72}{2} = \textcolor{#E0453A}{36}$.
5. Kontrola pierwszego wyniku wprost: $8! = 40320$, $6! = 720$, a $\frac{40320}{720} = 56$ ✓
6. Kontrola drugiego: $9! = 362880$, $7! \cdot 2! = 5040 \cdot 2 = 10080$, a $\frac{362880}{10080} = 36$ ✓
7. Kontrola sensu: $\frac{9 \cdot 8}{2}$ to dokładnie $\binom{9}{2}$, czyli liczba par z dziewięciu elementów ✓

Odpowiedź: $\frac{8!}{6!} = 56$, $\frac{9!}{7! \cdot 2!} = 36$

Kontrole liczone wprost pokazują, że skracanie nie jest chwytem „na oko” — daje ten sam wynik co mnożenie wszystkiego. Różnica jest w pracy: dwa mnożenia zamiast dwudziestu dwóch — licząc $n!$ jako iloczyn $2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$, pierwszy ułamek wymaga bez skracania dziesięciu mnożeń, a drugi dwunastu.

Przykład 2 Przekształcenie z literami

Uprość wyrażenie $\frac{(n+2)!}{n!}$ dla $n \geqslant 0$.

1. Rozwijam licznik dwa kroki w dół: $(n+2)! = (n+2)(n+1) \cdot \textcolor{#16A06A}{n!}$.
2. Skracam $n!$: zostaje $\textcolor{#E0453A}{(n+2)(n+1)}$.
3. Kontrola dla $n = 3$: lewa strona $\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$, prawa $(5)(4) = 20$ ✓
4. Kontrola dla $n = 0$: lewa $\frac{2!}{0!} = \frac{2}{1} = 2$, prawa $(2)(1) = 2$ ✓ — tu potrzebna jest wartość $0! = 1$.
5. Kontrola dla $n = 6$: lewa $\frac{8!}{6!} = 56$, prawa $(8)(7) = 56$ ✓
6. Kontrola stopnia: wynik jest wielomianem stopnia drugiego, bo skróciły się wszystkie czynniki poza dwoma ✓

Odpowiedź: $\frac{(n+2)!}{n!} = (n+2)(n+1)$

Drugi krok kontrolny jest wart uwagi: przypadek $n = 0$ działa wyłącznie dlatego, że $0!$ przyjmuje wartość $1$. Gdyby było inaczej, wzór miałby wyjątek.

Przykład 3 Równanie z silnią

Rozwiąż równanie $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42$ w zbiorze liczb naturalnych.

1. Skracam lewą stronę: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1) \cdot n$.
2. Równanie przyjmuje postać $n^2 + n = \textcolor{#16A06A}{42}$, czyli $n^2 + n - 42 = 0$.
3. $\Delta = 1 + 168 = 169$, więc $\sqrt{\Delta} = 13$.
4. $n = \frac{-1 - 13}{2} = -7$ albo $n = \frac{-1 + 13}{2} = \textcolor{#E0453A}{6}$.
5. Wartość $-7$ odpada: silnia jest określona tylko dla liczb naturalnych, a dodatkowo w mianowniku stoi $(n-1)!$, więc musi być $n \geqslant 1$.
6. Kontrola: $\frac{7!}{5!} = \frac{5040}{120} = 42$ ✓
7. Kontrola drugą drogą: $(6+1) \cdot 6 = 42$ ✓

Odpowiedź: $n = 6$

Zwróć uwagę na moment odrzucenia $-7$. To nie jest kwestia „ujemnych nie lubimy” — dziedzina wynika z tego, że w równaniu występuje silnia, a ta jest określona wyłącznie dla liczb naturalnych.

Przykład 4 Ustawienia z warunkiem

Na ile sposobów pięć osób może ustawić się w rzędzie? A na ile sposobów, jeśli dwie konkretne osoby muszą stać obok siebie?

1. Bez warunku: liczba ustawień pięciu różnych osób to $5! = \textcolor{#E0453A}{120}$.
2. Z warunkiem: traktuję parę jako jeden obiekt, więc ustawiam $\textcolor{#16A06A}{4}$ obiekty: $4! = 24$ sposoby.
3. Wewnątrz pary te dwie osoby mogą stać na $2! = \textcolor{#16A06A}{2}$ sposoby.
4. Razem: $24 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{48}$.
5. Kontrola sensu: $48 < 120$, bo warunek ogranicza swobodę ✓
6. Kontrola proporcji: $\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$ — i rzeczywiście, w losowym ustawieniu pięciu osób szansa, że dwie wskazane stoją obok siebie, wynosi $\frac{2}{5}$ ✓
7. Kontrola skrajna: gdyby osób było tylko dwie, oba wyniki byłyby równe $2$, bo warunek nic by nie ograniczał ✓

Odpowiedź: Bez warunku $120$, z warunkiem $48$.

Chwyt ze „sklejaniem” pary w jeden obiekt jest standardem w tym typie zadań. Kluczowe jest to, żeby nie zapomnieć o czynniku $2!$ za kolejność wewnątrz pary.