Trójkąty
Zadanie 34, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\angle ACB\) ma miarę \(120^\circ\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt7\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
Długość trzeciego boku jest równa
\[|AC|=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|AC|=b\). Z twierdzenia cosinusów dla kąta \(ACB=120^\circ\) otrzymujemy
\[(10\sqrt7)^2=b^2+10^2-2\cdot b\cdot10\cos120^\circ.\]
Ponieważ \(\cos120^\circ=-\frac12\), mamy
\[700=b^2+100+10b,\]
\[b^2+10b-600=0,\]
\[(b-20)(b+30)=0.\]
Stąd \(b=20\) lub \(b=-30\). Długość boku jest dodatnia, zatem \(|AC|=20\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(|AC|=20\)
**3 pkt** – zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np. \(b^2+10b-600=0\), prowadzącego do wyniku
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania z twierdzenia cosinusów: \(700=b^2+100-20b\cos120^\circ\)
**1 pkt** – zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(ABC\), zauważenie kąta zewnętrznego \(60^\circ\) albo poprowadzenie wysokości rozpoczynające poprawną strategię
**0 pkt** – podanie samej odpowiedzi bez uzasadnienia albo rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria - twierdzenie cosinusów w trójkącie rozwartokątnym i rozwiązywanie równania kwadratowego.
