Trójkąty
Zadanie 1, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom mieszany
**Zadanie I.**
Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na bokach, na zewnątrz trójkąta \(ABC\), zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(BCFG\) i \(ACHJ\). Udowodnij, że pola trójkątów \(AHE\) i \(BEG\) są równe.
Odpowiedź
\[P_{AHE}=P_{BEG}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy oznaczenia \(|AB|=|AE|=a\), \(|AC|=|BC|=|BG|=b\) oraz \(\angle BAC=\angle ABC=\alpha\). Przekątne kwadratów mają długości
\[|AH|=b\sqrt2,\qquad |BE|=a\sqrt2.\]
Ponieważ trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny i równoramienny, \(\alpha>45^\circ\). Dla kątów wypukłych otrzymujemy
\[\angle EAH=360^\circ-(90^\circ+\alpha+45^\circ)=225^\circ-\alpha,\]
\[\angle EBG=360^\circ-(90^\circ+\alpha+45^\circ)=225^\circ-\alpha.\]
Zatem \(\angle EAH=\angle EBG\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, mamy
\[P_{AHE}=\frac12\cdot a\cdot b\sqrt2\cdot\sin(225^\circ-\alpha),\]
\[P_{BEG}=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot b\cdot\sin(225^\circ-\alpha).\]
Prawe strony są równe, więc \(P_{AHE}=P_{BEG}\).
Klucz i zasady oceniania
**Oficjalny schemat CKE dla sposobu trygonometrycznego:**
**1 pkt** – istotny postęp: obliczenie długości \(AH\) i \(BE\) za pomocą boków \(AB\), \(AC\) lub wykazanie, że \(\angle EAH=\angle EBG\)
**2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: obliczenie obu długości oraz wykazanie równości kątów
**3 pkt** – rozwiązanie pełne: wykazanie, że pola obu trójkątów są równe
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **geometria płaska**, pola trójkątów, własności kwadratu, kąty oraz zastosowanie wzoru \(P=\frac12ab\sin\gamma\).
