Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, maj 2002, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(mx^{2}-3(m+1)x+m=0\) nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Odpowiedź
\(m\in\left(-3,-\frac{3}{5}\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Przy \(x^{2}\) stoi parametr \(m\), więc nie wiemy z góry, czy to równanie jest kwadratowe. Zanim sięgniemy po wyróżnik, musimy osobno rozpatrzyć przypadek \(m=0\) (równanie liniowe) i przypadek \(m\neq0\) (równanie kwadratowe).
**Krok \(2\).** Dla \(m=0\) równanie przyjmuje postać
\[0\cdot x^{2}-3(0+1)x+0=0,\qquad\text{czyli}\qquad -3x=0.\]
To równanie ma rozwiązanie \(x=0\), a my szukamy parametrów, dla których rozwiązań nie ma. Zatem \(m=0\) odpada.
**Krok \(3\).** Dla \(m\neq0\) mamy równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych dokładnie wtedy, gdy jego wyróżnik jest ujemny: \(\Delta\lt0\). To jest warunek, który trzeba zapisać.
**Krok \(4\).** Odczytujemy współczynniki: \(a=m\), \(b=-3(m+1)\), \(c=m\), i liczymy wyróżnik:
\[\Delta=\left(-3(m+1)\right)^{2}-4\cdot m\cdot m=9(m+1)^{2}-4m^{2}.\]
Rozwijamy kwadrat sumy:
\[\Delta=9\left(m^{2}+2m+1\right)-4m^{2}=9m^{2}+18m+9-4m^{2}=5m^{2}+18m+9.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązujemy nierówność \(5m^{2}+18m+9\lt0\). Traktujemy lewą stronę jak trójmian zmiennej \(m\) i liczymy jego wyróżnik:
\[\Delta_{m}=18^{2}-4\cdot5\cdot9=324-180=144,\qquad\sqrt{\Delta_{m}}=12.\]
Miejsca zerowe:
\[m_{1}=\frac{-18-12}{2\cdot5}=\frac{-30}{10}=-3,\qquad m_{2}=\frac{-18+12}{10}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}.\]
**Krok \(6\).** Współczynnik przy \(m^{2}\) jest dodatni (\(5\gt0\)), więc parabola ma ramiona skierowane do góry i przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi:
\[5m^{2}+18m+9\lt0\iff m\in\left(-3,-\frac{3}{5}\right).\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy zgodność z krokiem \(2\): liczba \(0\) nie należy do przedziału \(\left(-3,-\frac{3}{5}\right)\), więc przypadek liniowy niczego tu nie dokłada ani nie odbiera.
**Uwaga.** Pułapką jest liczenie wyróżnika od razu, bez rozważenia \(m=0\). Wzór na \(\Delta\) dotyczy tylko równania kwadratowego, a dla \(m=0\) równanie jest liniowe i rozwiązanie ma, więc i tak trzeba je wykluczyć osobno.
**Odpowiedź.** \(m\in\left(-3,-\frac{3}{5}\right)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] ma rozwiązanie
**11.2. (1 pkt)** – podanie układu warunków (1) na to, by równanie kwadratowe nie miało rozwiązania: \((1)\quad\begin{cases} m\ne 0\\ \Delta\lt 0\end{cases}\)
**11.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości spełniających warunek \(\Delta\lt 0\): \(m\in\left(-3,\,-\frac{3}{5}\right)\)
**11.4. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: \(m\in\left(-3,\,-\frac{3}{5}\right)\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
