Liczby rzeczywiste
Zadanie 28, maj 2025, poziom podstawowy
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe
**A.** \(\frac{1}{36}\)
**B.** \(\frac{6}{36}\)
**C.** \(\frac{11}{36}\)
**D.** \(\frac{2}{36}\)
Odpowiedź
**D.** Sumę \(11\) dają wyniki \((5,6)\) i \((6,5)\). Spośród \(36\) jednakowo prawdopodobnych wyników sprzyjające są \(2\), więc \(P(A)=\frac{2}{36}=\frac1{18}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy schemat: kostka jest symetryczna, a doświadczenie ma skończenie wiele jednakowo prawdopodobnych wyników, więc stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\]
gdzie \(|\Omega|\) to liczba wszystkich możliwych wyników, a \(|A|\) — liczba wyników sprzyjających.
**Krok \(2\).** Opisujemy wynik doświadczenia. Jest nim **uporządkowana para** \((\text{pierwszy rzut},\ \text{drugi rzut})\). Każda współrzędna może przyjąć \(6\) wartości, więc
\[|\Omega|=6\cdot6=36.\]
**Krok \(3\).** Szukamy par o sumie \(11\). Sprawdzamy po kolei możliwe wyniki pierwszego rzutu: dla \(1,2,3,4\) drugi rzut musiałby wynosić \(10,9,8,7\) — a takich oczek nie ma. Zostają: pierwszy rzut \(5\), drugi \(6\) oraz pierwszy rzut \(6\), drugi \(5\).
**Krok \(4\).** Zatem zdarzeniu \(A\) sprzyjają dwa wyniki: \((5,6)\) i \((6,5)\), czyli \(|A|=2\).
**Krok \(5\).** Obliczamy prawdopodobieństwo:
\[P(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.\]
**Uwaga.** Wyniki \((5,6)\) i \((6,5)\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne — rzuty są rozróżnialne (pierwszy i drugi). Potraktowanie ich jako jednego daje błędną odpowiedź \(\frac1{36}\). Zwróć uwagę, że wśród odpowiedzi jest \(\frac{2}{36}\), a nie jej postać skrócona \(\frac1{18}\) — to ta sama liczba.
**Odpowiedź.** D: \(\frac{2}{36}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
