Inne zagadnienia
Zadanie 29, sierpień 2025, poziom podstawowy
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(3\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac16.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniem elementarnym jest para uporządkowana \((a,b)\) liczb oczek: \(a\) jest cyfrą dziesiątek, \(b\) — cyfrą jedności otrzymanej liczby dwucyfrowej. Obie liczby należą do zbioru \(\{1,2,\ldots,6\}\), więc
\[|\Omega|=6\cdot6=36,\]
a wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Liczba \(\overline{ab}\) ma być nieparzysta i podzielna przez \(3\).
- Nieparzystość oznacza, że cyfra jedności jest nieparzysta: \(b\in\{1,3,5\}\).
- Podzielność przez \(3\) oznacza, że suma cyfr \(a+b\) dzieli się przez \(3\).
Rozpatrujemy kolejne wartości \(b\):
\[b=1:\ a\in\{2,5\}\ \Rightarrow\ 21,\;51;\qquad
b=3:\ a\in\{3,6\}\ \Rightarrow\ 33,\;63;\qquad
b=5:\ a\in\{1,4\}\ \Rightarrow\ 15,\;45.\]
Zatem \(|A|=6\).
Z definicji klasycznej
\[P(A)=\frac{6}{36}=\frac16.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac16\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne określenie 36 wyników albo wszystkich sześciu wyników sprzyjających.
2 pkt: poprawna metoda i P(A) = 1/6.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu klasycznego dla dwukrotnego rzutu kostką oraz stosowanie cech podzielności przez \(2\) i przez \(3\) przy wyznaczaniu zdarzeń sprzyjających.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
