Ostrosłupy
Zadanie 32, sierpień 2018, poziom podstawowy
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
S
C
O
A B
Odpowiedź
\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt7}{7}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), więc
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt3}4.\]
Z warunku \(P_b=2P_p\) i faktu, że ściany boczne są trzema przystającymi trójkątami o podstawie \(a\) i wysokości \(h\), otrzymujemy
\[3\cdot\frac{a h}2=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt3}4\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a\sqrt3}3.\]
Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego pada w środku podstawy, którego odległość od boku wynosi \(r=\frac{a\sqrt3}6\), a od wierzchołka \(R=\frac{a\sqrt3}3\).
Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość \(H\), odcinek \(r\) i wysokość ściany bocznej \(h\):
\[H^{2}=h^{2}-r^{2}=\frac{a^{2}}3-\frac{a^{2}}{12}=\frac{a^{2}}4,\qquad H=\frac a2.\]
Długość krawędzi bocznej:
\[b=\sqrt{H^{2}+R^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}4+\frac{a^{2}}3}=\frac{a\sqrt{21}}6.\]
Kąt \(\alpha\) nachylenia krawędzi bocznej do podstawy leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej \(R\) przyległej do niego i przeciwprostokątnej \(b\):
\[\cos\alpha=\frac{R}{b}=\frac{\frac{a\sqrt3}3}{\frac{a\sqrt{21}}6}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{21}}=\frac2{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}7.\]
**Odpowiedź.** \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt7}7\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości ściany, krawędzi bocznej i rzutu.
**5 pkt** – \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
