Zadanie 15 – matura z matematyki lipiec 2020, poziom rozszerzony

Krawędź podstawy ma długość a=(\(2\)√\(\frac{2}{5}\))d, a największa objętość wynosi (\(8\)√\(\frac{5}{375}\))\(d^{3}\). Dla promienia r okręgu opisanego na podstawie mamy a=r√\(2\) i H=√(d(d−\(2r\))); analiza pochodnej prowadzi do r=\(\frac{2d}{5}\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne z pochodną, w którym wszystkie wielkości trzeba wyrazić przez jedną zmienną. Najwygodniejszą zmienną podpowiada sama treść: promień \(r\) okręgu opisanego na podstawie. Wtedy krawędź boczna to \(b=d-r\), a krawędź podstawy i wysokość wyliczymy z własności ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. **Krok \(2\).** Podstawą jest kwadrat, a okrąg opisany na kwadracie ma średnicę równą przekątnej, więc \(a\sqrt2=2r\), skąd \[a=r\sqrt2.\] **Krok \(3\).** Spodek wysokości to środek kwadratu, odległy od wierzchołka podstawy o \(r\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\), \(r\) i przeciwprostokątnej \(b=d-r\): \[H^2=(d-r)^2-r^2=d^2-2dr+r^2-r^2=d^2-2dr,\qquad H=\sqrt{d^2-2dr}.\] **Krok \(4\).** Dziedzina: musi być \(r\gt0\) oraz \(d^2-2dr\gt0\), czyli \(r\lt\frac{d}{2}\). Zatem \(r\in\left(0,\frac{d}{2}\right)\), przy \(d\gt0\). **Krok \(5\).** Objętość ostrosłupa: \[V(r)=\frac13a^2H=\frac13\cdot2r^2\cdot\sqrt{d^2-2dr}=\frac23r^2\sqrt{d^2-2dr}.\] **Krok \(6\).** Zamiast różniczkować wyrażenie z pierwiastkiem, badamy funkcję pomocniczą \[f(r)=r^4\left(d^2-2dr\right)=d^2r^4-2dr^5,\] czyli kwadrat wyrażenia \(r^2\sqrt{d^2-2dr}\). Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc \(V\) rośnie i maleje dokładnie tam, gdzie \(f\), i obie osiągają maksimum dla tego samego \(r\). **Krok \(7\).** Liczymy pochodną: \[f^{\prime}(r)=4d^2r^3-10dr^4=2dr^3\left(2d-5r\right).\] **Krok \(8\).** W dziedzinie \(2dr^3\gt0\), więc o znaku decyduje czynnik \(2d-5r\): pochodna jest dodatnia dla \(r\lt\frac{2d}{5}\), a ujemna dla \(r\gt\frac{2d}{5}\). Zatem \(f\) (a więc i \(V\)) osiąga największą wartość dla \(r=\frac{2d}{5}\), a punkt ten należy do dziedziny, bo \(\frac{2d}{5}\lt\frac{d}{2}\). **Krok \(9\).** Wyznaczamy krawędź podstawy: \[a=r\sqrt2=\frac{2d}{5}\sqrt2=\frac{2\sqrt2}{5}d.\] **Krok \(10\).** Wysokość i objętość: \[H=\sqrt{d^2-2d\cdot\frac{2d}{5}}=\sqrt{d^2-\frac{4d^2}{5}}=\sqrt{\frac{d^2}{5}}=\frac{d\sqrt5}{5},\] \[V=\frac13a^2H=\frac13\cdot\frac{8d^2}{25}\cdot\frac{d\sqrt5}{5}=\frac{8\sqrt5}{375}d^3.\] **Uwaga.** Pytanie dotyczy krawędzi podstawy \(a\), a nie promienia \(r\) — po znalezieniu \(r=\frac{2d}{5}\) trzeba jeszcze wykonać przeliczenie \(a=r\sqrt2\). Warto też pamiętać, że \(d\) jest ustaloną liczbą dodatnią, a nie zmienną. **Odpowiedź.** Krawędź podstawy ma długość \(a=\dfrac{2\sqrt2}{5}d\), a największa objętość wynosi \(V=\dfrac{8\sqrt5}{375}d^3\).

**Schemat oceniania (I sposób)** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie. **1 pkt** – a) wyznaczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokości w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie. **1 pkt** – b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej \(r\): \(V(r)=\frac{2}{3}\sqrt{r^{4}d^{2}-2r^{5}d}\). **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(V\): \(r\in\left(0,\frac{d}{2}\right)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wprowadzenie funkcji pomocniczej \(f(r)=r^{4}d^{2}-2r^{5}d\) i wyznaczenie pochodnej \(f'(r)=4r^{3}d^{2}-10r^{4}d=2r^{3}d(2d-5r)\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(r=\frac{2}{5}d\). **1 pkt** – c) uzasadnienie, że dla \(r=\frac{2}{5}d\) funkcja \(f\) osiąga największą wartość oraz że dla takiej wartości promienia objętość ostrosłupa jest największa. **Uwaga:** Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji \(V\), to nie może otrzymać punktu za ostatnią część etapu drugiego (uzasadnienie). **1 pkt** – Trzeci etap. Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości: \(a=\frac{2\sqrt{2}}{5}d\). Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa: \(V=\frac{8\sqrt{5}}{375}d^{3}\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **Schemat oceniania (II sposób)** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie. **1 pkt** – a) wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz pola podstawy w zależności od długości wysokości ostrosłupa. **1 pkt** – b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej \(H\): \(V(H)=\frac{1}{6d^{2}}\left(d^{4}H-2d^{2}H^{3}+H^{5}\right)\). **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(V\): \(H\in(0,d)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wyznaczenie pochodnej \(V'(H)=\frac{1}{6d^{2}}\left(5H^{4}-6d^{2}H^{2}+d^{4}\right)\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(H=\frac{\sqrt{5}}{5}d\). **1 pkt** – c) uzasadnienie, że dla \(H=\frac{\sqrt{5}}{5}d\) objętość ostrosłupa jest największa. **Uwaga:** Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji \(V\), to nie może otrzymać punktu za ostatnią część etapu drugiego (uzasadnienie). **1 pkt** – Trzeci etap. Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości: \(a=\frac{2\sqrt{2}}{5}d\). Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa: \(V=\frac{8\sqrt{5}}{375}d^{3}\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 15. (0–7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość. Rozwiązanie (I sposób) Wprowadzamy oznaczenia: r – promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, b – krawędź boczna, a – krawędź podstawy, H – wysokość ostrosłupa. Z zależności r + b = d wyznaczamy b = d − r . W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa: H 2 = b2 − r 2 = ( b − r ) ( b + r ) = d ( b − r ) = d ( d − r − r ) = d ( d − 2r ) skąd wyznaczamy H = d ( d − 2r ) .  d  Zauważamy, że r > 0 oraz d − 2r > 0 , czyli r ∈  0,  .  2  Wyznaczamy a w zależności od r: a = r 2 i zapisujemy objętość ostrosłupa w zależności od zmiennej r.  d  1 2 V ( r ) = r 2 ⋅ 2 d 2 − 2dr = r 4d 2 − 2r5d dla r ∈  0,  . 3 3  2   d  Rozważamy funkcję pomocniczą f ( r ) = r 4d 2 − 2r5d , której dziedziną jest przedział  0,  .  2  Aby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną f ′( r ) = 4r3d 2 −10r 4d = 2r3d ( 2d − 5r )  d  2 Jedynym miejscem zerowym z przedziału  0,  jest r = d  2  5 ( r = 0 nie należy do dziedziny funkcji f ).