Zadanie 33 – matura z matematyki próbna grudzień 2014, poziom podstawowy

Pole powierzchni całkowitej: \(480\pi\). Objętość: \(600\pi\).

Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(H\) wysokość stożka. Z treści \(H=2r-22\), a ponieważ \(H\) jest długością odcinka, musi być \(2r-22>0\), czyli \(r>11\) — ten warunek rozstrzygnie później wybór pierwiastka. W przekroju osiowym tworząca, wysokość i promień tworzą trójkąt prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa \[(2r-22)^2+r^2=17^2,\] \[4r^2-88r+484+r^2=289,\qquad 5r^2-88r+195=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=7744-3900=3844=62^2\), zatem \[r=\frac{88-62}{10}=2{,}6\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{88+62}{10}=15.\] Warunek \(r>11\) odrzuca pierwszą wartość, więc \(r=15\) i \(H=30-22=8\). Sprawdzenie: \(8^2+15^2=289=17^2\). Pole powierzchni całkowitej i objętość: \[P_c=\pi r(r+l)=\pi\cdot15\cdot(15+17)=480\pi,\] \[V=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13\pi\cdot225\cdot8=600\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_c=480\pi\), \(V=600\pi\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. \((2r-22)^2+r^2=289\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: \(r=15\) i \(h=8\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły.

Zadanie 33. (0–4) Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka. 3.4., G11.2. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe V. Rozumowanie z jedną niewiadomą, oblicza pole powierzchni i objętość i argumentacja graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Rozwiązanie: Narysujmy przekrój osiowy stożka i oznaczmy promień podstawy stożka przez r. 17 2r − 22 r Zauważamy, że 2r  22 musi być liczbą dodatnią, jako długość odcinka. Zatem r jest większe niż 11. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność: 2r  222  r 2  289 2 2 4r  88r  484  r  289 5r 2  88r 195  0   7744  3900  3844   62 88  62 88  62 r   2, 6 r   15 1 2 10 10 r odrzucamy, bo jest liczbą mniejszą od 11. 1 Dalsze obliczenia prowadzimy dla przypadku r  15 . Obliczamy wysokość stożka: 215  22  8 . 1 Obliczamy objętość stożka: V  152 8  600 3 Obliczamy powierzchnię całkowitą stożka: P 1515 17  480 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania – 1 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. 2r  222  r 2  289 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 2 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 3 pkt Wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: r  15 i h  8 Rozwiązanie pełne – 4 pkt Poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły. 1 V  152 8  600 3 P 1515 17  480