Zadanie 15 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

**a)** W przekroju osiowym odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) i \(h\), więc z porównania pól \(rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}\), skąd \(r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\) i \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** \(V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}\), więc funkcja maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right)\) i rośnie na \(\left(5\sqrt3,+\infty\right)\). Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt3\), a jest ona równa \(V\left(5\sqrt3\right)=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: rozpatrujemy przekrój osiowy stożka. Odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) (promień) i \(h\) (wysokość stożka), opuszczoną na przeciwprostokątną. Pole tego trójkąta zapiszemy na dwa sposoby. **Krok \(2\).** Niech \(D\) będzie środkiem podstawy, \(B\) — punktem na brzegu podstawy, \(C\) — wierzchołkiem stożka. Trójkąt \(DBC\) jest prostokątny przy \(D\), jego przyprostokątne mają długości \(r\) i \(h\), a przeciwprostokątna \(BC\) (tworząca) ma długość \[\lvert BC\rvert=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy pole trójkąta \(DBC\) na dwa sposoby (drugi raz z wysokością równą \(5\), opuszczoną z \(D\) na \(BC\)): \[\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{r^{2}+h^{2}}\cdot 5,\qquad\text{czyli}\qquad rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(4\).** Podnosimy obie strony (dodatnie) do kwadratu i wyznaczamy \(r^{2}\): \[r^{2}h^{2}=25r^{2}+25h^{2},\qquad r^{2}\left(h^{2}-25\right)=25h^{2},\qquad r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}.\] Dzielenie jest poprawne, bo \(h\gt 5\), więc \(h^{2}-25\gt 0\). **Krok \(5\).** Podstawiamy do wzoru na objętość stożka: \[V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\cdot h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(V\) na przedziale \((5,+\infty)\). **Krok \(7\).** Różniczkujemy, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. W przedziale \((5,+\infty)\) mamy \(h^{2}\gt 0\), więc \[V^{\prime}(h)=0\iff h^{2}=75\iff h=5\sqrt3\quad\left(5\sqrt3\approx 8{,}66\right).\] **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej: dla \(h\in\left(5,5\sqrt3\right)\) jest \(h^{2}\lt 75\), więc \(V^{\prime}(h)\lt 0\); dla \(h\in\left(5\sqrt3,+\infty\right)\) jest \(V^{\prime}(h)\gt 0\). Zatem \(V\) maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 5\sqrt3,+\infty\right)\), więc dla \(h=5\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(10\).** Obliczamy tę objętość. Mamy \(\left(5\sqrt3\right)^{3}=375\sqrt3\) oraz \(\left(5\sqrt3\right)^{2}-25=75-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt3\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt3}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{375\sqrt3}{2}=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Pochodnej ilorazu nie wolno liczyć jako ilorazu pochodnych. Warto też zauważyć, że przy \(h\to 5^{+}\) oraz \(h\to+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie — to dodatkowo potwierdza, że w punkcie \(h=5\sqrt3\) jest minimum globalne. **Odpowiedź.** **a)** \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** Objętość jest najmniejsza dla \(h=5\sqrt3\) i wynosi wtedy \(\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Część a)** **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. \(\tfrac{1}{2}rh=\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{h^2+r^2}\), \(\left(\tfrac{5}{r}\right)^2+\left(\tfrac{5}{h}\right)^2=1\), \(\tfrac{r}{5}=\tfrac{h}{\sqrt{h^2-25}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\tfrac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \(V'(h)=\tfrac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^2\cdot(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^3\) oraz \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) (gdzie \(a\neq0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^3\) lub \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.