Wzory redukcyjne w zadaniach z trygonometrii

\[\lvert BC\rvert=5,\qquad \lvert CD\rvert=6,\qquad P_{ABCD}=30\sqrt{3}.\]

Oznaczmy \(x=\lvert BC\rvert\), \(y=\lvert CD\rvert\) oraz \(d=\lvert BD\rvert\). Z rysunku odczytujemy, że \(BD\) jest przekątną dzielącą czworokąt na trójkąty \(ABD\) i \(BCD\). W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków są równe: \[\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert=\lvert AD\rvert+\lvert BC\rvert,\qquad 9+y=10+x,\qquad y=x+1.\] Na czworokącie opisano okrąg, więc przeciwległe kąty dopełniają się do \(180^\circ\): \[\lvert\angle BCD\rvert=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\] Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ABD\) daje \[d^{2}=9^{2}+10^{2}-2\cdot9\cdot10\cdot\cos 60^\circ=181-90=91.\] To samo twierdzenie w trójkącie \(BCD\), przy \(\cos 120^\circ=-\tfrac12\), daje \[d^{2}=x^{2}+y^{2}+xy=x^{2}+(x+1)^{2}+x(x+1)=3x^{2}+3x+1.\] Porównanie obu wyrażeń prowadzi do równania \[3x^{2}+3x+1=91,\qquad x^{2}+x-30=0,\qquad x=5\ \lor\ x=-6.\] Długość boku jest liczbą dodatnią, więc pierwiastek \(x=-6\) odrzucamy. Zatem \(\lvert BC\rvert=5\) i \(\lvert CD\rvert=6\). Pole czworokąta jest sumą pól trójkątów \(ABD\) i \(BCD\): \[P=\tfrac12\cdot9\cdot10\cdot\sin 60^\circ+\tfrac12\cdot5\cdot6\cdot\sin 120^\circ=45\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+15\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(\lvert BC\rvert=5\), \(\lvert CD\rvert=6\), \(P_{ABCD}=30\sqrt3\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – spełnienie jednego z warunków 1) – 3): 1) zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie zależności między długością boku \(BC\) a długością boku \(CD\) czworokąta, np. \(9+\lvert CD\rvert=10+\lvert BC\rvert\), 2) zapisanie jednego z dwóch równań: \(\lvert BD\rvert^{2}=9^{2}+10^{2}-2\cdot 9\cdot 10\cdot\cos 60^\circ\) lub \(\lvert BD\rvert^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10\right)^{2}+(9-5)^{2}\), 3) zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta \(BCD\): \(120^\circ\). **2 pkt** – spełnienie dwóch spośród warunków 1) – 3) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – spełnienie wszystkich warunków 1) – 3) określonych w kryterium za 1 punkt ALBO spełnienie warunków 1) i 2) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(BCD\) i zapisanie równania \(\lvert BD\rvert^{2}=\lvert BC\rvert^{2}+\lvert CD\rvert^{2}-2\cdot\lvert BC\rvert\cdot\lvert CD\rvert\cdot\cos\lvert\angle BCD\rvert\), ALBO spełnienie warunków 2) i 3) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(BCD\) i zapisanie równania \(\lvert BD\rvert^{2}=\lvert BC\rvert^{2}+\lvert CD\rvert^{2}-2\cdot\lvert BC\rvert\cdot\lvert CD\rvert\cdot\cos\lvert\angle BCD\rvert\). **4 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku \(BC\) lub długością boku \(CD\)), np. \(91=\lvert BC\rvert^{2}+(\lvert BC\rvert+1)^{2}-2\cdot\lvert BC\rvert\cdot(\lvert BC\rvert+1)\cdot\cos 120^\circ\), \(91=\left(\lvert BC\rvert+1+\frac{1}{2}\cdot\lvert BC\rvert\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\lvert BC\rvert\right)^{2}\) ALBO zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi (długościami boków \(BC\) i \(CD\)), np. \[\begin{cases}9+\lvert CD\rvert=10+\lvert BC\rvert\\ \left(\sqrt{91}\right)^{2}=\lvert BC\rvert^{2}+\lvert CD\rvert^{2}-2\cdot\lvert BC\rvert\cdot\lvert CD\rvert\cdot\cos 120^\circ\end{cases}\] **5 pkt** – obliczenie długości boków \(BC\) oraz \(CD\): \(\lvert BC\rvert=5\) oraz \(\lvert CD\rvert=6\). **6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\lvert BC\rvert=5\) i \(\lvert CD\rvert=6\) oraz \(P=30\sqrt{3}\). Uwaga: Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów albo b) błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, albo c) błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu (tj. zapisanie związku \(9\cdot\lvert CD\rvert=10\cdot\lvert BC\rvert\) lub \(10+\lvert CD\rvert=9+\lvert BC\rvert\)), albo d) błędne zastosowanie własności miarowych trójkąta prostokątnego o kątach ostrych \(30^\circ\) i \(60^\circ\), albo e) błędna interpretacja obliczonej długości jednego z dwóch szukanych boków czworokąta, ale zdający realizuje poprawnie strategię rozwiązania zadania, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. Jeżeli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 7.1R) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.

Promień okręgu jest równy \(R=\frac{7\sqrt{3}}{3}\).

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, więc kąty \(BAD\) i \(BCD\) dopełniają się do \(180^\circ\). Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle BAD\rvert\) oraz \(d=\lvert BD\rvert\). Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ABD\): \[d^{2}=3^{2}+8^{2}-2\cdot3\cdot8\cos\alpha=73-48\cos\alpha.\] Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(BCD\), przy \(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\): \[d^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cos(180^\circ-\alpha)=34+30\cos\alpha.\] Porównanie daje \[73-48\cos\alpha=34+30\cos\alpha,\qquad 78\cos\alpha=39,\qquad \cos\alpha=\tfrac12,\] czyli \(\alpha=60^\circ\) oraz \(d^{2}=73-24=49\), a więc \(d=7\). Promień okręgu opisanego wyznaczamy z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(ABD\), w którym bok \(BD\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\): \[2R=\frac{d}{\sin\alpha}=\frac{7}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{14}{\sqrt3},\qquad R=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}.\] **Odpowiedź.** \(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\).

**(dla sposobu I)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{7\sqrt{3}}{3}\). **3 pkt** – obliczenie długości jednej z przekątnych czworokąta \(ABCD\), np. \(d=7\), \(\lvert AC\rvert=\tfrac{39}{7}\), ALBO – obliczenie cosinusa jednego z kątów czworokąta \(ABCD\), np. \(\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\), \(\cos\gamma=-\tfrac{1}{2}\), \(\cos\lvert\angle ABC\rvert=-\tfrac{71}{98}\), \(\cos\lvert\angle CDA\rvert=\tfrac{71}{98}\). **2 pkt** – zapisanie równań \(d^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cdot\cos\alpha\) oraz \(d^2=3^2+5^2+2\cdot3\cdot5\cdot\cos\alpha\) ALBO – zapisanie równań \(d^2=3^2+8^2+2\cdot3\cdot8\cdot\cos\gamma\) oraz \(d^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos\gamma\), ALBO – zapisanie równań \(\lvert AC\rvert^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos\lvert\angle ABC\rvert\) oraz \(\lvert AC\rvert^2=8^2+5^2+2\cdot8\cdot5\cdot\cos\lvert\angle ABC\rvert\), ALBO – zapisanie równań \(\lvert AC\rvert^2=3^2+3^2+2\cdot3\cdot3\cdot\cos\lvert\angle CDA\rvert\) oraz \(\lvert AC\rvert^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\cos\lvert\angle CDA\rvert\). **1 pkt** – zapisanie związków \(d^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cdot\cos\alpha\) oraz \(\alpha+\gamma=180^\circ\) ALBO – zapisanie związków \(d^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos\gamma\) oraz \(\alpha+\gamma=180^\circ\), ALBO – zapisanie związków \(d^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cdot\cos\alpha\) oraz \(d^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos\gamma\), ALBO – zapisanie związków \(\lvert AC\rvert^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos\lvert\angle ABC\rvert\) oraz \(\lvert\angle ABC\rvert+\lvert\angle CDA\rvert=180^\circ\), ALBO – zapisanie związków \(\lvert AC\rvert^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\cos\lvert\angle CDA\rvert\) oraz \(\lvert\angle ABC\rvert+\lvert\angle CDA\rvert=180^\circ\), ALBO – zapisanie związków \(\lvert AC\rvert^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos\lvert\angle ABC\rvert\) oraz \(\lvert AC\rvert^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\cos\lvert\angle CDA\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{7\sqrt{3}}{3}\). **3 pkt** – obliczenie długości przekątnej \(AC\): \(\lvert AC\rvert=\tfrac{39}{7}\) ALBO – obliczenie \(\cos\delta\): \(\cos\delta=\tfrac{13}{14}\). **2 pkt** – zapisanie równań \(e^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot(2\cos^2\delta-1)\) oraz \(\frac{\tfrac{1}{2}e}{3}=\cos\delta\). **1 pkt** – zapisanie związków \(e^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos\lvert\angle ADC\rvert\) oraz \(\lvert\angle ADC\rvert=2\delta\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{7\sqrt{3}}{3}\). **3 pkt** – obliczenie długości przekątnej \(AC\): \(\lvert AC\rvert=\tfrac{39}{7}\). **2 pkt** – zapisanie, że trójkąt \(ABC'\) jest równoboczny. **1 pkt** – uzasadnienie, że \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ADC\) oraz zapisanie, że \(C'\) leży na odcinku \(AD\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 7.1R) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.

**D.** \(6\sqrt{3}\)

**Krok \(1\).** Dane są dwa boki równoległoboku i kąt między nimi — to dokładnie sytuacja, w której stosujemy wzór na pole \[P=ab\sin\gamma,\] gdzie \(a\), \(b\) to długości boków, a \(\gamma\) — miara kąta zawartego między nimi. **Krok \(2\).** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego sinus wyznaczamy ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\): \[\sin120^\circ=\sin\left(180^\circ-120^\circ\right)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a=3\), \(b=4\): \[P=3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Ten sam wynik można dostać przez wysokość. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\), więc wysokość opuszczona na bok długości \(4\) wynosi \[h=3\cdot\sin60^\circ=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},\] a stąd \(P=4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=6\sqrt3\). **Uwaga.** Iloczyn \(3\cdot4=12\) to pole **prostokąta** o takich bokach, czyli błędna odpowiedź **A**. Równoległobok o tych samych bokach ma pole mniejsze — trzeba dołożyć czynnik \(\sin\gamma\), który dla kąta różnego od \(90^\circ\) jest mniejszy od \(1\). **Odpowiedź.** D: \(6\sqrt3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** VIII.11) Zdający stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Z pola dwóch przystających trójkątów prostokątnych otrzymujemy \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert=3\sqrt5\), a z twierdzenia Pitagorasa \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\). Dla \(S=(s,s+1)\) daje to równanie \(2(s-1)^{2}=50\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\).

**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Z jego pola wyznaczymy długość stycznej, z twierdzenia Pitagorasa — długość \(\lvert AS\rvert\), a stąd współrzędne \(S\). **Krok \(2\).** Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \(SB\perp AB\) oraz \(SC\perp AC\). Trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są zatem prostokątne (kąt prosty przy \(B\) i przy \(C\)). **Krok \(3\).** Trójkąty te mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(\lvert BS\rvert=\lvert CS\rvert=\sqrt5\), więc są przystające. Oznaczmy \(t=\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\). **Krok \(4\).** Zapisujemy pole czworokąta jako sumę pól tych trójkątów: \[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot t\cdot\sqrt5=t\sqrt5,\qquad\text{zatem}\qquad t=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.\] **Krok \(5\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\): \[\lvert AS\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BS\rvert^{2}=\left(3\sqrt5\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=45+5=50,\] czyli \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\). **Krok \(6\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,\ s+1)\) dla pewnego \(s\in\mathbb{R}\). **Krok \(7\).** Zapisujemy warunek \(\lvert AS\rvert^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\): \[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\] **Krok \(8\).** Stąd \(\lvert s-1\rvert=5\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\), a więc \[S=(6,7)\qquad\text{lub}\qquad S=(-4,-3).\] Oba punkty spełniają warunek \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\gt\sqrt5\), więc oba są dobre. **Uwaga.** Zadanie wyraźnie prosi o rozważenie wszystkich przypadków: równanie \((s-1)^{2}=25\) ma dwa rozwiązania i oba dają poprawne położenie środka okręgu, po dwóch stronach punktu \(A\). **Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\). **4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\). **2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\) ALBO – obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\). **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\), ALBO – zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=m^{2}+m^{2}-2m\cdot m\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot m^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(m=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; IX.5) Zdający oblicza odległość punktu od prostej. IX.R1) Zdający posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie […].

\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Pole jest sumą pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc \(15=|AB|\sqrt{5}\) i \(|AB|=3\sqrt{5}\). Stąd \(|AS|^{2}=50\), a dla \(S=(s,s+1)\) otrzymujemy \(2(s-1)^{2}=50\).

**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) jest deltoidem złożonym z dwóch przystających trójkątów prostokątnych; z jego pola wyznaczymy \(|AS|\), a potem skorzystamy z tego, że \(S\) leży na danej prostej. **Krok \(2\).** Promienie \(SB\) i \(SC\) poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych \(AB\) i \(AC\), więc trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są prostokątne odpowiednio przy wierzchołkach \(B\) i \(C\). Mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(|SB|=|SC|=\sqrt{5}\), więc są przystające i \(|AB|=|AC|\). **Krok \(3\).** Pole czworokąta jest sumą pól tych trójkątów: \[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\sqrt{5}=|AB|\sqrt{5},\qquad |AB|=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.\] **Krok \(4\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\): \[|AS|^{2}=|AB|^{2}+|BS|^{2}=45+5=50.\] **Krok \(5\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,s+1)\). Zapisujemy warunek \(|AS|^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\): \[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\] **Krok \(6\).** Stąd \(|s-1|=5\), czyli \(s=6\) albo \(s=-4\), a więc \[S=(6,7)\quad\text{lub}\quad S=(-4,-3).\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy założenie: w obu przypadkach \(|AS|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\gt\sqrt{5}\), więc punkt \(A\) leży na zewnątrz okręgu i obie styczne istnieją. Oba rozwiązania są dobre. **Uwaga.** Punkt \(A=(1,2)\) sam leży na prostej \(y=x+1\), więc odległość \(|AS|\) mierzymy wzdłuż tej prostej: \(|AS|=|s-1|\sqrt{2}\). Z równania \(|s-1|\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) natychmiast dostajemy \(|s-1|=5\) — to skrót do Kroku \(6\). Odpowiedź musi zawierać oba położenia \(S\) — po jednym z każdej strony punktu \(A\). **Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\). **4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\). **2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\) ALBO – obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\). **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\), ALBO – zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\cdot a\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(a=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów. 8.1R) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.

\[\frac{\tan\beta}{\sin(2\alpha)}=2.\]

Oznaczmy \(|AD|=|BD|=c\), \(|AC|=b\). W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ-3\alpha\), a w trójkącie \(ADC\) kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ-(2\alpha+\beta)\). Stosujemy twierdzenie sinusów do trójkątów \(ABC\) i \(ADC\): \[\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{2c}{\sin(180^\circ-3\alpha)},\qquad \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin(180^\circ-(2\alpha+\beta))}.\] Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych i wyeliminowaniu \(b\) oraz \(c\) otrzymujemy \[2\sin\alpha\cdot\sin(2\alpha+\beta)=\sin\beta\cdot\sin(3\alpha).\] Rozwijamy sinusy sumy kątów: \[2\sin\alpha\,[\sin(2\alpha)\cos\beta+\cos(2\alpha)\sin\beta]\] \[=\sin\beta\,[\sin(2\alpha)\cos\alpha+\cos(2\alpha)\sin\alpha].\] Po przeniesieniu składników otrzymujemy \[2\sin\alpha\sin(2\alpha)\cos\beta=\sin\beta\,[\sin(2\alpha)\cos\alpha-\cos(2\alpha)\sin\alpha].\] Wyrażenie w nawiasie jest równe \(\sin\alpha\), więc \[2\sin\alpha\sin(2\alpha)\cos\beta=\sin\beta\sin\alpha.\] Trójkąt jest ostrokątny, zatem \(\sin\alpha\neq0\). Po podzieleniu przez \(\sin\alpha\cos\beta\) mamy \[2\sin(2\alpha)=\tan\beta,\] a więc \[\frac{\tan\beta}{\sin(2\alpha)}=2.\]

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(2\) **4 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{2\sin\alpha}{\sin(3\alpha)}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}\) i zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów do \(\sin(3\alpha)\) oraz \(\sin(2\alpha+\beta)\) **3 pkt** – wyeliminowanie długości odcinków z dwóch równości otrzymanych z twierdzenia sinusów, na przykład zapisanie \(\frac{2\sin\alpha}{\sin(3\alpha)}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}\) **2 pkt** – zapisanie obu równości \(\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{2c}{\sin(180^\circ-3\alpha)}\) oraz \(\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin(180^\circ-(2\alpha+\beta))}\) **1 pkt** – zapisanie jednej z powyższych równości wynikających z twierdzenia sinusów **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens. VII.R5) Zdający korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. VII.R7) Zdający stosuje twierdzenie sinusów.

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2},\] a drugie \[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\), albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale, albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** 2 x\cos 5 x=2\cos 7 x+1\).

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy cosinus jako sinus: \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[2x+\frac\pi4=k\pi,\qquad x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}.\] Drugie równanie daje \[3x-\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi,\qquad x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale: \(-\frac\pi8\), \(\frac{3\pi}{8}\), \(-\frac{5\pi}{12}\), \(-\frac\pi{12}\), \(\frac\pi4\) **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\); albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale; albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów; albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną, na przykład \(\sin(5x)+\sin(\frac\pi2-x)=0\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** stosowanie wzorów redukcyjnych i wzoru na sumę sinusów oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych w zadanym przedziale. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[|\angle BAD|=45^\circ,\quad|\angle ABC|=120^\circ,\quad|\angle BCD|=135^\circ,\quad|\angle CDA|=60^\circ.\]

Oznaczmy kolejno kąty wewnętrzne przy wierzchołkach \(A,B,C,D\) przez \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(ABD\): \[\frac{|BD|}{\sin\alpha}=2R.\] Stąd \[\sin\alpha=\frac{10}{10\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\alpha=45^\circ\). W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe są dopełniające do \(180^\circ\), zatem \[\gamma=180^\circ-45^\circ=135^\circ,\qquad\beta=180^\circ-\delta.\] Warunek o iloczynie sinusów daje \[\sin45^\circ\sin\beta\sin135^\circ\sin\delta=\frac38.\] Ponieważ \(\sin\beta=\sin(180^\circ-\delta)=\sin\delta\), otrzymujemy \[\frac12\sin^2\delta=\frac38,\qquad\sin\delta=\frac{\sqrt3}{2}.\] Kąt \(\delta\) jest ostry, więc \(\delta=60^\circ\), a \(\beta=120^\circ\).

**4 pkt** – poprawne obliczenie wszystkich kątów: \(45^\circ,120^\circ,135^\circ,60^\circ\) **3 pkt** – zapisanie równania \(\frac12\sin^2\delta=\frac38\) lub równoważnego równania dla \(\beta\) **2 pkt** – obliczenie \(\alpha=45^\circ\) i \(\gamma=135^\circ\) **1 pkt** – zapisanie zależności z twierdzenia sinusów \(\frac{|BD|}{\sin\alpha}=2R\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R7.1 i R7.5 stosowanie własności czworokąta wpisanego oraz twierdzenia sinusów.

A. \(8\)

**Krok \(1\).** Romb to równoległobok o wszystkich bokach tej samej długości. Mamy dany bok i kąt, więc sięgamy po wzór na pole z sinusem kąta między bokami: \[P=a\cdot b\cdot\sin\alpha,\] co dla rombu (gdzie \(b=a\)) daje \(P=a^{2}\sin\alpha\). **Krok \(2\).** Dane: \(a=4\) oraz kąt rozwarty \(\alpha=150^{\circ}\). **Krok \(3\).** Potrzebujemy \(\sin 150^{\circ}\). Ze wzoru redukcyjnego \[\sin 150^{\circ}=\sin\left(180^{\circ}-150^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ}=\frac12.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru: \[P=4^{2}\cdot\frac12=16\cdot\frac12=8.\] **Krok \(5\).** Ten sam wynik bez wzoru z sinusem: kąt ostry rombu ma miarę \(180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\), więc wysokość opuszczona na bok wynosi \(h=4\cdot\sin 30^{\circ}=4\cdot\frac12=2\), a stąd \[P=a\cdot h=4\cdot 2=8.\] **Uwaga.** Nie ma znaczenia, czy do wzoru wstawimy kąt ostry, czy rozwarty rombu — ich sinusy są równe (\(\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\frac12\)). Pole nigdy nie wyjdzie ujemne, choć dla kąta rozwartego ujemny jest cosinus. **Odpowiedź.** A. \(8\)

Zadanie 16. (0−1) **Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymaganie szczegółowe:** 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi (7.4).

**A.** \(-\frac{\sqrt3}{2}\)

Korzystamy ze wzoru \[\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha.\] Dla \(\alpha=105^\circ\) otrzymujemy \[\cos210^\circ=\cos(180^\circ+30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 stosowanie wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)\).

Korzystamy ze wzoru \(2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)\). Dla \[u=\frac\pi{12}-\alpha,\qquad v=\frac\pi{12}+\alpha\] otrzymujemy \[2\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\sin\frac\pi6-\sin2\alpha.\] Zatem \[\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\frac14-\frac12\sin2\alpha.\] Ponieważ \(\alpha\in(0,\frac\pi2)\), to \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin2\alpha>0\). Stąd \[\frac14-\frac12\sin2\alpha<\frac14,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do postaci \(\frac12-\sin2\alpha<\frac12\) lub równoważnej, ale bez pełnego uzasadnienia znaku **1 pkt** – poprawne użycie wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa albo innego równoważnego przekształcenia wskazanego w kluczu CKE **0 pkt** – brak istotnego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - wzory redukcyjne i wzory na sumę lub różnicę kątów, znaki funkcji trygonometrycznych oraz dowodzenie nierówności.

\[x\in\left\{\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha=\sin(\frac\pi2-\alpha)\): \[\cos\left(x+\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi4-x\right)=-\sin\left(x-\frac\pi4\right).\] Równanie jest więc równoważne \[2\sin\left(x-\frac\pi4\right)=1,\qquad \sin\left(x-\frac\pi4\right)=\frac12.\] Stąd \[x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}\).

**4 pkt** – podanie obu rozwiązań z przedziału: \(\frac{5\pi}{12}\) i \(\frac{13\pi}{12}\) **3 pkt** – rozwiązanie równania w zbiorze liczb rzeczywistych: \(x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\) **2 pkt** – doprowadzenie do \(\sin(x-\frac\pi4)=\frac12\) **1 pkt** – poprawne użycie wzoru redukcyjnego, prowadzące do równania \(3\sin(x-\frac\pi4)+\sin(\frac\pi2-(x+\frac\pi4))=1\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wzory redukcyjne i rozwiązywanie równań trygonometrycznych w przedziale.

**C.** \(2\sin\alpha\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\): \[\sin\alpha+\sin(180^\circ-\alpha)=2\sin\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wartości funkcji trygonometrycznych kątów dopełniających do \(180^\circ\).

\[|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}.\]

Niech \(x=|AC|\) oraz \(\alpha=\angle ABC\). Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, \(\angle CDA=180^\circ-\alpha\). Z twierdzenia cosinusów w trójkątach \(ABC\) i \(ACD\): \[x^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos\alpha=13-12\cos\alpha,\] \[x^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos(180^\circ-\alpha)=41+40\cos\alpha.\] Porównanie równań daje \[13-12\cos\alpha=41+40\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=-\frac7{13}.\] Wobec tego \[x^2=13-12\left(-\frac7{13}\right)=\frac{253}{13},\] czyli \(x=\sqrt{\frac{253}{13}}\).

**4 pkt** – poprawna długość \(\sqrt{\frac{253}{13}}\) **3 pkt** – otrzymanie \(AC^2=\frac{253}{13}\) **2 pkt** – poprawne ułożenie i porównanie obu równań z twierdzenia cosinusów **1 pkt** – zapisanie jednego poprawnego równania z twierdzenia cosinusów i wykorzystanie dopełniania się kątów przeciwległych **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 7. Planimetria - czworokąt wpisany w okrąg oraz związki miarowe z użyciem twierdzenia cosinusów (R7.1, R7.5) .

\[x=\frac{\pi}{6}\quad\text{lub}\quad x=\frac{3\pi}{2}.\]

Przenosimy \(\sin x\) na prawą stronę i korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \[\sqrt3\cos x-\sin x=1,\] \[2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.\] Zatem \[\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.\] Stąd \[x+\frac{\pi}{6}=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\] Po ograniczeniu do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy dokładnie dwa rozwiązania: \[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]

**4 pkt** – podanie obu rozwiązań i uzasadnienie, że są wszystkimi rozwiązaniami w zadanym przedziale **3 pkt** – podanie obu poprawnych rozwiązań bez pełnego uzasadnienia kompletności albo jedno rozwiązanie z poprawnym sprawdzeniem **2 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do równania jednej funkcji trygonometrycznej i zapis rozwiązania ogólnego **1 pkt** – poprawne przekształcenie do postaci \(\sqrt3\cos x-\sin x=1\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne oraz ogranicza rozwiązania do wskazanego przedziału.

**A.** \(\cos60^\circ\)

Ze wzoru redukcyjnego \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) otrzymujemy \[\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12.\] Porównujemy z wartościami z wariantów: \[\cos60^\circ=\frac12,\qquad \cos120^\circ=-\frac12,\qquad \operatorname{tg}120^\circ=-\sqrt3,\qquad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.\] Równa \(\frac12\) jest tylko pierwsza z nich. **Odpowiedź.** A. \(\cos60^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 6.1) Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

\(|CD|=\sqrt{12+3\sqrt3}\approx4{,}15\).

**Krok \(1\).** Rysunek i oznaczenia. W trójkącie \(ABC\) mamy \(\angle BCA=90^\circ\) i \(\angle CAB=30^\circ\), zatem \(\angle ABC=60^\circ\). Okrąg wpisany o środku \(O\) i promieniu \(r=\sqrt3\) jest styczny do przyprostokątnej \(AC\) w punkcie \(E\), do przyprostokątnej \(BC\) w punkcie \(F\) oraz do przeciwprostokątnej \(AB\) w punkcie \(D\). Szukamy długości \(|CD|\). Oznaczmy \(a=|BC|\), \(b=|AC|\), \(c=|AB|\). **Krok \(2\).** Z zależności w trójkącie prostokątnym \[a=c\sin30^\circ=\frac{c}{2},\qquad b=c\sin60^\circ=\frac{c\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny \(r=\frac{a+b-c}{2}\): \[\sqrt3=\frac{\frac{c}{2}+\frac{c\sqrt3}{2}-c}{2}=\frac{c\left(\sqrt3-1\right)}{4},\] skąd \[c=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3-1}=\frac{4\sqrt3\left(\sqrt3+1\right)}{2}=6+2\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Obliczamy przyprostokątne: \[|BC|=\frac{c}{2}=3+\sqrt3,\qquad |AC|=\frac{c\sqrt3}{2}=3\sqrt3+3.\] **Krok \(5\).** Ponieważ \(\angle BCA=90^\circ\), czworokąt \(CEOF\) jest kwadratem o boku \(r\), więc \(|CF|=|CE|=\sqrt3\). Z równości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu \(B\) otrzymujemy \[|BD|=|BF|=|BC|-|CF|=3+\sqrt3-\sqrt3=3.\] **Krok \(6\).** W trójkącie \(CBD\) znamy \(|CB|=3+\sqrt3\), \(|BD|=3\) oraz \(\angle DBC=\angle ABC=60^\circ\). Z twierdzenia cosinusów \[|CD|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+3^2-2\cdot\left(3+\sqrt3\right)\cdot3\cdot\cos60^\circ,\] \[|CD|^2=12+6\sqrt3+9-\left(9+3\sqrt3\right)=12+3\sqrt3.\] **Krok \(7\).** Stąd \(|CD|=\sqrt{12+3\sqrt3}\approx4{,}15\). Zwróćmy uwagę, że punkty \(C\), \(O\), \(D\) nie są współliniowe, więc w trójkącie \(CBD\) nie wolno stosować twierdzenia Pitagorasa. **Odpowiedź.** Odległość wierzchołka \(C\) od punktu styczności okręgu wpisanego z przeciwprostokątną wynosi \(|CD|=\sqrt{12+3\sqrt3}\approx4{,}15\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób rozwiązania.** **4.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku. (rysunek: \(F\), \(O\), \(B\), \(D\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – wykorzystanie własności: środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. \(\Delta FBO\) jest prostokątny i \(\angle FBO=30^{\circ}\). \(OF=\sqrt{3}\), stąd \(OB=2\sqrt{3}\). **4.3. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(FB\) z \(\Delta FBO\): \(FB=3\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(CB\): \(CB=CF+FB=\sqrt{3}+3\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(DB\): \(DB=BF=3\). Z własności trójkąta opisanego na okręgu. **4.6. (2 pkt)** – zastosowanie wzoru cosinusów w \(\Delta CBD\) do obliczenia długości odcinka \(CD\): \[CD^{2}=CB^{2}+DB^{2}-2\,CB\cdot DB\cos 60^{\circ},\] \[CD^{2}=\left(\sqrt{3}+3\right)^{2}+3^{2}-2\cdot\left(\sqrt{3}+3\right)\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=12+3\sqrt{3},\] \[CD=\sqrt{12+3\sqrt{3}}.\] Jeżeli błąd jest spowodowany tym, że punkty \(C\), \(O\), \(D\) są współliniowe i zdający korzysta z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(CBD\), wtedy nie przyznajemy punktów. **II sposób rozwiązania.** **4.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku. (rysunek: \(C\), \(E\), \(F\), \(O\), \(B\), \(D\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – skorzystanie z tego, że \(CE=CF=r\) (czworokąt \(CFOE\) jest kwadratem) oraz ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt \(CE=CF=\frac{AC+BC-AB}{2}\). Przyjęcie oznaczeń, np. \(a=BC\), i zapisanie tej równości w postaci: \[\sqrt{3}=\frac{a+a\sqrt{3}-2a}{2}=\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}.\] **4.3. (1 pkt)** – obliczenie \(BC=a=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=3+\sqrt{3}\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie \(AC=3\sqrt{3}+3\), np. z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych w trójkącie \(ABC\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie \(AE=AD=3+2\sqrt{3}\). **4.6. (2 pkt)** – zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie \(CDA\) i obliczenie długości \(CD\): \[CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2\,AC\cdot AD\cdot\cos 30^{\circ},\] \[CD^{2}=\left(3+3\sqrt{3}\right)^{2}+\left(3+2\sqrt{3}\right)^{2}-2\left(3+3\sqrt{3}\right)\left(3+2\sqrt{3}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}=12+3\sqrt{3},\] \[CD=\sqrt{12+3\sqrt{3}}.\] **III sposób rozwiązania** (z wykorzystaniem \(\angle COD\)). **4.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku. (rysunek: \(C\), \(E\), \(F\), \(O\), \(B\), \(D\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – obliczenie miary \(\angle FOD\) (wykorzystanie miary kątów czworokąta \(FODB\)): \[\angle FOD+2\cdot 90^{\circ}+60^{\circ}=360^{\circ},\qquad \angle FOD=120^{\circ}.\] **4.3. (1 pkt)** – zauważenie, że \(\angle FOC=45^{\circ}\), i obliczenie \(\angle COD=45^{\circ}+120^{\circ}=165^{\circ}\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(OC\) (\(OC\) to przekątna kwadratu o boku długości \(\sqrt{3}\)): \(OC=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}\). **4.5. (1 pkt)** – wykorzystanie wzoru redukcyjnego: \(\cos 165^{\circ}=-\cos 15^{\circ}\). **4.6. (2 pkt)** – zastosowanie wzoru cosinusów w \(\Delta COD\): \[CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}-2\cdot OC\cdot OD\cos 165^{\circ}.\] Obliczenie długości odcinka \(CD\): \[CD^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\cos 15^{\circ},\qquad CD^{2}=9+6\sqrt{2}\cos 15^{\circ}.\] Zdający może pozostawić wynik w takiej postaci: \(9+6\sqrt{2}\cos 15^{\circ}\), lub odczytać wartość cosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** \(15\).\(1\). Zapisanie założenia: sin x ≠ \(0\) . \(1\) **Krok \(2\).** Zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania **Krok \(3\).** \(15\).\(2\). \(1\) cos x \(1\) **Krok \(4\).** w postaci: + − sin x = \(0\) . **Krok \(5\).** \(15\). sin x sin x **Krok \(6\).** \(15\).\(3\). Przekształcenie równania do postaci: cos x cos x + \(1 = 0\) . \(1\) **Krok \(7\).** \(15\).\(4\). Zapisanie rozwiązań równania: x = + kπ, k ∈ C . \(1\) **Krok \(8\).** Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – zapisanie założenia: \(\sin x\neq 0\). **15.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania w postaci: \(\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x=0\). **15.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(\cos x\left(\cos x+1\right)=0\). **15.4. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania: \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in C\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dwa przeciwległe kąty mają miary \(45^\circ\) i \(135^\circ\), a dwa pozostałe \(60^\circ\) i \(120^\circ\).

Oznaczmy kolejne kąty wewnętrzne czworokąta wpisanego w okrąg przez \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). Dla czworokąta wpisanego \(\alpha+\gamma=180^\circ\) oraz \(\beta+\delta=180^\circ\), a ze wzorów redukcyjnych \[\sin\gamma=\sin\alpha,\qquad \sin\delta=\sin\beta.\] Iloczyn sinusów wszystkich kątów jest więc równy \(\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\). Dana przekątna długości \(10\) jest cięciwą okręgu i leży naprzeciw jednego z kątów, powiedzmy \(\alpha\), w trójkącie utworzonym przez tę przekątną i dwa boki. Z twierdzenia sinusów \[\sin\alpha=\frac{10}{2R}=\frac{10}{10\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\] czyli \(\alpha=45^\circ\) albo \(\alpha=135^\circ\); w obu przypadkach \(\sin^{2}\alpha=\tfrac12\), a drugi z pary kątów \(\alpha,\gamma\) jest dopełnieniem do \(180^\circ\). Z warunku na iloczyn \[\tfrac12\sin^{2}\beta=\tfrac38,\qquad \sin^{2}\beta=\tfrac34,\qquad \sin\beta=\frac{\sqrt3}{2},\] skąd \(\beta=60^\circ\) albo \(\beta=120^\circ\), a \(\delta\) jest jego dopełnieniem do \(180^\circ\). Zadanie nie narzuca, który z kątów jest ostry, więc jedno z rozwiązań opisuje wszystkie możliwości: jedna para przeciwległych kątów ma miary \(45^\circ\) i \(135^\circ\), a druga \(60^\circ\) i \(120^\circ\). Suma \(45^\circ+135^\circ+60^\circ+120^\circ=360^\circ\) potwierdza poprawność wyniku. **Odpowiedź.** Kąty czworokąta mają miary \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(135^\circ\), \(120^\circ\), przy czym \(45^\circ\) leży naprzeciw \(135^\circ\), a \(60^\circ\) naprzeciw \(120^\circ\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (1 pkt)** – […] opisanych oznaczeń, np.: \(\measuredangle DAB=\alpha\), \(\measuredangle ABC=\beta\), \(\measuredangle BCD=\gamma\), \(\measuredangle CDA=\delta\). **18.2. (1 pkt)** – Zastosowanie własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg i zapisanie, że np.: \(\gamma=180^\circ-\alpha\) \((\delta=180^\circ-\beta)\). **18.3. (2 pkt)** – Wyznaczenie miary kąta \(\alpha\): \(\alpha=45^\circ\) (lub \(\alpha=135^\circ\)) – w tym 1 punkt za skorzystanie z twierdzenia sinusów (lub twierdzenia cosinusów i twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym w kole). **Inna metoda (3 pkt)** – Zamiast czynności 18.2 i 18.3: Przekątna tworzy wraz z dwoma promieniami trójkąt prostokątny, ponieważ \((10)^{2}=\left(5\sqrt{2}\right)^{2}+\left(5\sqrt{2}\right)^{2}\). Wyznaczenie miar kątów z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym. **18.4. (2 pkt)** – Wykorzystanie wzorów redukcyjnych i zapisanie, że \(\sin^{2}\beta=\frac{3}{4}\). **18.5. (1 pkt)** – Wyznaczenie miary kąta \(\beta\): \(\beta=60^\circ\) (lub \(\beta=120^\circ\)). **18.6. (1 pkt)** – Zapisanie odpowiedzi: miary kątów czworokąta \(ABCD\) to: \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(135^\circ\). Uwaga: nie jest oceniana kolejność podawanych miar kątów czworokąta z rozważanej rodziny.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru. Oba składniki są funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu \(2x\) (drugi tylko przesuniętego o \(\frac{\pi}{6}\)). Standardowa metoda: rozwinąć drugi składnik wzorem na cosinus różnicy, sprowadzić wszystko do postaci \(A\sin 2x+B\cos 2x\), a następnie zwinąć to do jednej funkcji \(R\sin(2x+\varphi)\), której zbiór wartości znamy od ręki. **Krok \(2\).** Rozwijamy wzorem na cosinus różnicy \(\cos(\beta-\gamma)=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\): \[\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru funkcji i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=\sin 2x+\frac12\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x=\frac32\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x.\] **Krok \(4\).** Liczymy „amplitudę”, czyli liczbę \(R=\sqrt{A^2+B^2}\) dla \(A=\frac32\), \(B=\frac{\sqrt3}{2}\): \[R=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Wyłączamy \(\sqrt3\) przed nawias: \[f(x)=\sqrt3\left(\frac{3}{2\sqrt3}\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}\cos 2x\right)=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\frac12\cos 2x\right).\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) i \(\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\), więc nawias jest rozwinięciem sinusa sumy: \[f(x)=\sqrt3\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).\] **Krok \(7\).** Uzasadniamy wartości skrajne. Dla dowolnego argumentu \(\sin\) przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\), a wyrażenie \(2x+\frac{\pi}{6}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, gdy \(x\) przebiega \(\mathbb{R}\). Zatem \[-\sqrt3\leqslant f(x)\leqslant\sqrt3\] i obie skrajne wartości są osiągane. **Krok \(8\).** Wskazujemy konkretne argumenty. Największą wartość dostajemy, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=\frac{\pi}{6}\): \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\). Najmniejszą, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=-\frac{\pi}{3}\): \(f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3\). (Ten sam wzór można zapisać przy pomocy cosinusa: ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), więc \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\) — obie postacie są równoważne.) **Uwaga.** Polecenie brzmi „odpowiedź uzasadnij” — samo podanie liczb \(\pm\sqrt3\) nie wystarczy. Trzeba pokazać przekształcenie do jednej funkcji trygonometrycznej i zaznaczyć, że wartości skrajne są rzeczywiście OSIĄGANE (najlepiej podając przykładowe \(x\)). Uwaga też na częsty błąd: amplituda sumy \(A\sin t+B\cos t\) to \(\sqrt{A^2+B^2}\), a nie \(A+B\) — tutaj \(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}\approx 2{,}37\), a poprawna wartość to \(\sqrt3\approx 1{,}73\). **Odpowiedź.** Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] zastosowaniu wzorów redukcyjnych: \(f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\). **15.2. (1 pkt)** – przekształcenie wzoru funkcji po zastosowaniu wzoru na sumę sinusów lub kosinusów: \(f(x)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)\) lub \(f(x)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\). **15.3. (2 pkt)** – wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (w tym \(1\) p. za podanie wartości oraz \(1\) p. za uzasadnienie): Najmniejsza wartość: \(m=-\sqrt{3}\). Największa wartość: \(M=\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza została wykazana: suma kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego jest równa \(2\).

Oznaczmy kąty trójkąta prostokątnego przez \(90^\circ\), \(\alpha\) i \(\beta\). Suma miar kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc \[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \beta=90^\circ-\alpha.\] Ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha\), zatem \[\sin^{2}90^\circ+\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=1+\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha.\] Z jedynki trygonometrycznej dwa ostatnie składniki dają \(1\), więc cała suma jest równa \(2\). **Odpowiedź.** Suma kwadratów sinusów miar kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego jest równa \(2\), co należało wykazać.

**[…] ([…] pkt)** – […] wewnętrznych danego trójkąta np. \(\sin\alpha+\sin\beta+\sin 90^\circ\) (1). **34. (1 pkt)** – przekształcenie wyrażenia (1) do postaci: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+1\). **35. (1 pkt)** – wykorzystanie równości: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) do uzyskania tezy twierdzenia.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.