Zadania o procencie składanym i oprocentowaniu lokat

**B.** \(1{,}5\)

W \(50\) meczach: w \(4\) strzelono \(0\) goli, w \(21\) strzelono \(1\) gola, a w \(16\) strzelono \(2\) gole. Po uporządkowaniu \(25\). wynik to \(1\), a \(26\). wynik to \(2\). Zatem \[\operatorname{Me}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający znajduje medianę zestawu danych.

**B.** \(1236\) zł

Przy procencie składanym kapitał po każdym roku mnoży się przez \(1{,}06\), więc po dwóch latach na lokacie jest \[10\,000\cdot(1{,}06)^2=10\,000\cdot1{,}1236=11\,236\ \text{zł}.\] Pytanie dotyczy samych **odsetek**, czyli przyrostu ponad kapitał początkowy: \[11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}.\] Odsetki z dwóch lat nie są równe podwójnym odsetkom z jednego roku (\(2\cdot600=1200\)) — drugiego roku procent liczy się od powiększonego kapitału. **Odpowiedź.** **B.** \(1236\) zł

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.

Prawdopodobieństwo wynosi około \(0{,}09\).

Niech \(C\) oznacza chorobę, \(Z\) zdrowie, a \(+\) wynik pozytywny. Mamy \[P(C)=0{,}002,\quad P(Z)=0{,}998,\quad P(+|C)=0{,}99,\quad P(+|Z)=0{,}02.\] Z twierdzenia Bayesa \[P(C|+)=\frac{P(+|C)P(C)}{P(+|C)P(C)+P(+|Z)P(Z)}\] \[=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}=\frac{99}{1097}\approx0{,}09.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(0{,}09\). **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bayesa. **1 pkt** – obliczenie brakujących prawdopodobieństw warunkowych. **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […]. **Wymagania szczegółowe:** XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. 1R) Zdający […] stosuje wzór Bayesa […].

**B.** \(34\%\)

Po \(10\) latach kwota na lokacie jest równa \(K_0(1{,}03)^{10}\). Ponieważ \[(1{,}03)^{10}\approx1{,}3439,\] kwota wzrosła o około \(0{,}3439\cdot100\%\approx34\%\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.

**B.** \(34\%\)

Po \(10\) latach kapitał jest równy \(K_0(1{,}03)^{10}\). Ponieważ \[(1{,}03)^{10}\approx1{,}3439,\] przyrost wynosi około \(0{,}3439\cdot100\%\approx34\%\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych i zysków z lokat.

Osoby zarabiające nie więcej niż \(5{,}5\) tys. zł stanowią około \(87\%\) pracowników.

Zarabiających \(5{,}5\) tys. zł lub mniej jest \[1+1+4+7+10+14+13+9+6=65.\] Wszystkich pracowników jest \(75\), zatem \[\frac{65}{75}\cdot100\%=86{,}6\ldots\%\approx87\%.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(87\%\) **1 pkt** – obliczenie liczby \(65\) pracowników spełniających warunek **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.

**C.** \(\frac{|0{,}1-0{,}125|}{0{,}125}\cdot100\%=20\%\).

Błąd względny przybliżenia liczby \(x\) liczbą \(x_0\) to iloraz błędu bezwzględnego przez wartość przybliżanej liczby: \[\delta=\frac{|x_0-x|}{|x|}.\] Tutaj \(x=\frac18=0{,}125\) oraz \(x_0=0{,}1\), więc \[\delta=\frac{|0{,}1-0{,}125|}{0{,}125}=\frac{0{,}025}{0{,}125}=0{,}2=20\%.\] Podstawą jest liczba przybliżana \(\frac18\), a nie przybliżenie \(0{,}1\) — przy odwrotnym podziale wyszłoby \(25\%\), czyli wariant **D**. **Odpowiedź.** **C.** \(20\%\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 1.7) Oblicza błąd względny przybliżenia.

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo przegrania jednej partii wynosi \(0{,}6\). Dla \(n\) partii prawdopodobieństwo przynajmniej jednej wygranej jest równe \[1-(0{,}6)^n.\] Rozwiązujemy nierówność \[1-(0{,}6)^n>0{,}95\iff(0{,}6)^n<0{,}05.\] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest \(n=6\).

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(n=6\). **3 pkt** – zapisanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\). **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\). **1 pkt** – określenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. 2R) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

**B.** \(62{,}5\%\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, o co pyta zadanie. Zdanie, że pole \(P_1\) stanowi pewien procent pola \(P_2\), znaczy: trzeba obliczyć iloraz \(\frac{P_1}{P_2}\) i zamienić go na procenty. Najpierw więc wyznaczamy oba pola, korzystając ze wzoru: pole prostokąta to iloczyn długości jego boków. **Krok \(2\).** Pole pierwszego prostokąta: \[P_1=a\cdot b=ab.\] **Krok \(3\).** Pole drugiego prostokąta — mnożymy najpierw liczby, potem litery: \[P_2=0{,}2a\cdot8b=(0{,}2\cdot8)\,ab=1{,}6ab.\] **Krok \(4\).** Liczymy iloraz. Boki są dodatnie, więc \(ab\neq0\) i można skrócić: \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{ab}{1{,}6ab}=\frac{1}{1{,}6}.\] **Krok \(5\).** Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły i skracamy: \[\frac{1}{1{,}6}=\frac{10}{16}=\frac58=0{,}625.\] **Krok \(6\).** Zamieniamy na procenty, mnożąc przez \(100\%\): \[0{,}625=62{,}5\%.\] **Uwaga.** Ważny jest kierunek porównania: to \(P_2\) jest większe od \(P_1\) (bo \(1{,}6ab\gt ab\)), więc wynik musi być **mniejszy** niż \(100\%\) — odpowiedzi C i D odpadają od razu. Zauważ też, że wynik nie zależy od konkretnych \(a\) i \(b\), bo litery się skracają. **Odpowiedź.** B: \(62{,}5\%\) pola prostokąta \(P_2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8) Zdający wykonuje obliczenia procentowe.

**A.** \(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

Doliczenie \(6\%\) do bieżącego kapitału to pomnożenie go przez \(1{,}06\). Operacja powtarza się po każdym z trzech lat, więc kapitał końcowy wynosi \[K_0\cdot1{,}06\cdot1{,}06\cdot1{,}06=K_0\cdot(1{,}06)^3.\] Wariant **D** odpowiadałby procentowi prostemu, przy którym odsetki liczy się wyłącznie od kwoty początkowej. **Odpowiedź.** **A.** \(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat.

**B.** \(6{,}4\%\)

Po dwóch latach kapitał jest równy \[60\,000\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=67\,925{,}76.\] Dzielimy obie strony przez \(60\,000\): \[\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=1{,}132096.\] Ponieważ \(1{,}064^2=1{,}132096\), otrzymujemy \[1+\frac{p}{100}=1{,}064,\qquad p=6{,}4.\] Oprocentowanie wynosiło \(6{,}4\%\) w skali roku.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.

**B.** \(1888\) zł

Po pierwszej obniżce cena stanowi \(80\%\) ceny początkowej. Po drugiej obniżce ponownie pozostaje \(80\%\) aktualnej ceny, zatem \[2950\cdot0{,}8\cdot0{,}8=1888.\] Cena po obu obniżkach wynosi \(1888\) zł.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8) Zdający wykonuje obliczenia procentowe.

Osoby zarabiające \(5{,}5\) tys. zł lub mniej stanowią \(87\%\) pracowników.

Liczba osób zarabiających nie więcej niż \(5{,}5\) tys. zł wynosi \[1+1+4+7+10+14+13+9+6=65.\] Wszystkich pracowników jest \(75\), zatem szukany odsetek to \[\frac{65}{75}\cdot100\%=86{,}6\ldots\%\approx87\%.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(87\%\) **1 pkt** – poprawna metoda obliczenia odsetka pracowników zarabiających \(5{,}5\) tys. zł lub mniej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.1 interpretowanie danych z wykresu i operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 stosowanie skali centylowej.

\[P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09.\]

Oznaczmy przez \(C\) zdarzenie ąosoba jest chora”, przez \(Z\) zdarzenie ąosoba jest zdrowa”, a przez \(+\) dodatni wynik testu. Z danych: \[P(C)=0{,}002,\qquad P(Z)=0{,}998,\] \[P(+\mid C)=0{,}99,\qquad P(+\mid Z)=1-0{,}98=0{,}02.\] Ze wzoru Bayesa \[P(C\mid +)=\frac{P(+\mid C)P(C)}{P(+\mid C)P(C)+P(+\mid Z)P(Z)}.\] Po podstawieniu: \[P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09008.\] Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi około \(0{,}09\), czyli około \(9\%\).

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik około \(0{,}09\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bayesa **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw dopełniających \(P(-\mid C)=0{,}01\) i \(P(+\mid Z)=0{,}02\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.1R stosowanie wzoru Bayesa.

\(P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09\)

Oznaczmy przez \(C\) zdarzenie ąosoba jest chora”, przez \(Z\) zdarzenie ąosoba jest zdrowa”, a przez \(+\) dodatni wynik testu. Z danych: \[P(C)=0{,}002,\qquad P(Z)=0{,}998,\] \[P(+\mid C)=0{,}99,\qquad P(+\mid Z)=1-0{,}98=0{,}02.\] Ze wzoru Bayesa \[P(C\mid +)=\frac{P(+\mid C)P(C)}{P(+\mid C)P(C)+P(+\mid Z)P(Z)}.\] Po podstawieniu: \[P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09008.\] Zatem prawdopodobieństwo, że Pan X jest chory, wynosi około \(0{,}09\), czyli około \(9\%\).

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik około \(0{,}09\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bayesa **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw dopełniających \(P(-\mid C)=0{,}01\) i \(P(+\mid Z)=0{,}02\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.1R stosowanie wzoru Bayesa.

**D.** \(20\ 000\cdot(1{,}03)^2\)

Po każdym roku kapitał jest mnożony przez \(1+3\%=1{,}03\). Po dwóch kapitalizacjach kwota wynosi \[20\ 000\cdot1{,}03\cdot1{,}03=20\ 000\cdot(1{,}03)^2.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.8 wykorzystywanie własności potęgowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentu składanego i zysków z lokat.

**D.** \(4347\) zł

Kapitał po dwóch latach z roczną kapitalizacją wynosi \[30\ 000\cdot(1+0{,}07)^2=30\ 000\cdot1{,}1449=34\ 347.\] Łączna wartość odsetek jest więc równa \[34\ 347-30\ 000=4347\ \text{zł}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** obliczenia procentowe; zdający oblicza kapitał i odsetki przy oprocentowaniu składanym oraz interpretuje wynik w kontekście praktycznym.

**D.** \(4347\) zł

Kapitał po dwóch latach wynosi \[30\ 000\cdot(1+0{,}07)^2=30\ 000\cdot1{,}1449=34\ 347.\] Łączna wartość odsetek jest zatem równa \[34\ 347-30\ 000=4347\text{ zł}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.8 zdający wykorzystuje własności potęgowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych i zysków z lokat.

B

**Krok \(1\).** Odsetki są doliczane od bieżącego kapitału, czyli mamy do czynienia z procentem składanym. Po każdym roku kapitał mnoży się przez ten sam czynnik \(1+5\%=1{,}05\). Oznaczmy wpłaconą kwotę przez \(x\) i zapiszmy równanie. **Krok \(2\).** Po pierwszym roku na lokacie jest \[1{,}05\cdot x.\] **Krok \(3\).** Po drugim roku odsetki naliczane są od kwoty z kroku \(2\), więc \[1{,}05\cdot(1{,}05x)=1{,}05^{2}\cdot x.\] **Krok \(4\).** Z treści wiemy, że po dwóch latach kwota wynosi \(4851\) zł: \[1{,}05^{2}\cdot x=4851,\qquad\text{a}\qquad 1{,}05^{2}=1{,}1025.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy \(x\): \[x=\frac{4851}{1{,}1025}=4400.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(4400\cdot1{,}05=4620\), a następnie \(4620\cdot1{,}05=4851\). Zgadza się. **Uwaga.** Nie wolno policzyć odsetek jako \(10\%\) kwoty początkowej (czyli dwa razy po \(5\%\) od tej samej liczby). W drugim roku \(5\%\) liczy się już od \(4620\) zł, a nie od \(4400\) zł - dlatego mnożymy przez \(1{,}05\) dwukrotnie. **Odpowiedź.** B, czyli \(4400\) zł.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat.

**B.** \(34\%\)

Po \(10\) latach stosunek zgromadzonej kwoty do kwoty początkowej wynosi \[(1{,}03)^{10}\approx1{,}3439.\] Przyrost wynosi zatem około \(0{,}3439=34{,}39\%\), czyli po zaokrągleniu do \(1\%\): \(34\%\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I i III.1 sprawność rachunkowa oraz stosowanie i interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.8 wykorzystywanie własności potęgowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych i zysków z lokat.

**B.** \(34\%\)

Po \(10\) latach stosunek kwoty końcowej do początkowej wynosi \((1{,}03)^{10}\approx1{,}3439\). Przyrost to około \(34{,}39\%\), czyli po zaokrągleniu \(34\%\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I i III.1 sprawność rachunkowa oraz stosowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.8 wykorzystywanie potęgowania do obliczania procentów składanych i zysków z lokat.

\(1\). **C.** \(150\%\) \(2\). **E.** \(60\%\)

Niech średnia krajowa wynosi \(s\). Wtedy pensje wynoszą \(x=1{,}5s\) i \(y=0{,}6s\). Mamy \[\frac{x}{y}=\frac{1{,}5}{0{,}6}=2{,}5,\] więc pensja pana X jest o \(150\%\) pensji pana Y wyższa. Ponadto \[\frac{y}{x}=\frac{0{,}6}{1{,}5}=0{,}4,\] więc pensja pana Y jest o \(60\%\) pensji pana X niższa.

**2 pkt** – poprawne dokończenie obu zdań **1 pkt** – poprawne dokończenie jednego zdania **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa w problemach osadzonych w kontekście rzeczywistym. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

**A.** \(16\frac23\%\) wartości początkowej

Obniżka wyrażona w procentach to iloraz kwoty obniżki przez cenę **początkową**: \[\frac{240-200}{240}=\frac{40}{240}=\frac16.\] Zamieniamy ułamek na procenty: \[\frac16=\frac{100}{6}\%=16\frac23\%.\] Wariant **D** \(\left(83\frac13\%\right)\) to udział nowej ceny w starej, a nie wielkość obniżki. **Odpowiedź.** **A.** \(16\frac23\%\) wartości początkowej

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo wygranej ojca w jednej partii wynosi \(0{,}4\), a przegranej \(0{,}6\). Dla \(n\) niezależnych partii prawdopodobieństwo, że ojciec nie wygra żadnej, jest równe \((0{,}6)^n\). Zatem \[1-(0{,}6)^n>0{,}95,\] czyli \[(0{,}6)^n<0{,}05.\] Ponieważ \((0{,}6)^5=0{,}07776>0{,}05\), natomiast \((0{,}6)^6=0{,}046656<0{,}05\), najmniejszą możliwą liczbą partii jest \(n=6\).

**4 pkt** – rozwiązanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\) i odpowiedź \(n\ge6\) **3 pkt** – zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie tej nierówności **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\) **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 dobieranie i tworzenie modeli matematycznych dla problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2R stosowanie schematu Bernoulliego.

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo wygranej ojca w jednej partii wynosi \(0{,}4\), a przegranej \(0{,}6\). Dla \(n\) niezależnych partii prawdopodobieństwo, że ojciec nie wygra żadnej, jest równe \((0{,}6)^n\). Zatem \[1-(0{,}6)^n>0{,}95,\] czyli \[(0{,}6)^n<0{,}05.\] Ponieważ \((0{,}6)^5=0{,}07776>0{,}05\), natomiast \((0{,}6)^6=0{,}046656<0{,}05\), najmniejszą możliwą liczbą partii jest \(n=6\).

**4 pkt** – rozwiązanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\) i odpowiedź \(n\ge6\) **3 pkt** – zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie tej nierówności **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\) **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych dla problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2R stosowanie schematu Bernoulliego.

**A.** \(3900\)

Warunek zapisujemy jako \(0{,}3x=x-2730\). Stąd \[0{,}7x=2730,\qquad x=3900.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 wykonywanie obliczeń procentowych.

**A.** \(40\,000\cdot(1{,}07)^2\text{ zł}\)

Po każdym roku wartość obligacji jest mnożona przez \(1+7\%=1{,}07\). Po dwóch kapitalizacjach rocznych wynosi więc \[40\,000\cdot(1{,}07)^2\text{ zł}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I i III sprawność rachunkowa oraz wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.8 wykorzystywanie własności potęgowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat.

**B.** \(97\,200\) zł

Jeżeli cena początkowa wynosiła \(P\), to po dwóch obniżkach była równa \[0{,}9^2P=0{,}81P.\] Stąd \[P=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 wykonywanie obliczeń procentowych.

**D.** \(0{,}56x\) złotych.

Po pierwszej obniżce cena wynosi \(0{,}70x\), a po drugiej: \[0{,}80\cdot0{,}70x=0{,}56x.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie prostej sytuacji praktycznej. **Wymagania szczegółowe:** I.7 wykonywanie obliczeń procentowych, także wielokrotnych podwyżek i obniżek.

**A.** \(91\%\)

Płacę nieprzekraczającą \(5000\text{ zł}\) otrzymuje \[75+50+20=145\] pracowników. Stanowią oni \[\frac{145}{160}\cdot100\%=90{,}625\%\approx91\%\] wszystkich pracowników.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i I interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie oraz sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

B. \(28\)%

Każdą obniżkę liczymy od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy współczynniki: \[0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72.\] Cena końcowa stanowi \(72\%\) ceny początkowej, zatem zmniejszyła się o \[100\%-72\%=28\%.\] Procentów obniżek nie wolno dodawać — suma \(20\%+10\%=30\%\) jest wariantem **C** i jest błędna, bo druga obniżka dotyczy już mniejszej podstawy. **Odpowiedź.** **B.** \(28\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(52\)

Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\), czyli \[1{,}5c=78.\] Stąd \[c=\frac{78}{1{,}5}=52.\] Sprawdzenie: \(1{,}5\cdot52=78\). **Odpowiedź.** **B.** \(52\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8) Zdający wykonuje obliczenia procentowe […].

**C.** \(76{,}00\) zł

Niech \(c\) oznacza cenę przed podwyżką. Po wzroście o \(40\%\) cena stanowi \(140\%\) ceny początkowej, więc \[1{,}4c=106{,}40.\] Stąd \[c=\frac{106{,}40}{1{,}4}=76{,}00.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 wykonywanie obliczeń procentowych.

A. \(125\)% liczby x

Z treści \(x=0{,}8y\), przy czym \(y>0\). Wyznaczamy \(y\): \[y=\frac{x}{0{,}8}=1{,}25x.\] Liczba \(y\) stanowi więc \(125\%\) liczby \(x\). Zauważmy, że nie jest to \(120\%\): podstawą procentu jest tu \(x\), a nie \(y\). **Odpowiedź.** **A.** \(125\%\) liczby \(x\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

A. \(25\)%

Obniżka o \(20\%\) oznacza pomnożenie ceny przez \(0{,}8\), zatem \[y=0{,}8x.\] Podwyżkę liczy się od nowej ceny \(y\), a nie od ceny wyjściowej — to jest podstawa procentu w tym zadaniu. Szukamy \(p\) takiego, że \(y\cdot(1+p)=x\): \[1+p=\frac xy=\frac{x}{0{,}8x}=1{,}25,\qquad p=0{,}25.\] **Odpowiedź.** **A.** \(25\%\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: […]

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (1.9).

**C.** \(2677{,}50\,\text{zł}\)

Po pierwszej obniżce cena stanowi \(90\%\) ceny początkowej, a po drugiej — \(85\%\) ceny obowiązującej po pierwszej obniżce. Zatem \[3500\cdot0{,}90\cdot0{,}85=3150\cdot0{,}85=2677{,}50.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2677{,}50\,\text{zł}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - obliczenia procentowe i wielokrotne zmiany wartości.

B

Niech \(a=\frac pq\), gdzie \(p>0\) i \(q>0\). Zmniejszenie licznika o \(50\%\) daje \(0{,}5p\), a zwiększenie mianownika o \(50\%\) daje \(1{,}5q\). Zatem \[b=\frac{0{,}5p}{1{,}5q}=\frac{0{,}5}{1{,}5}\cdot\frac pq=\frac13a.\] **Odpowiedź.** **B.** \(b=\frac13a\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(25\)%

Prowizja spadła z \(4\%\) na \(3\%\), czyli o **jeden punkt procentowy**. Pytanie dotyczy jednak tego, o ile **procent** zmniejszyła się prowizja — podstawą jest jej wartość początkowa \(4\%\): \[\frac{4\%-3\%}{4\%}=\frac14=25\%.\] Wariant **A** myli punkty procentowe z procentami: spadek o \(1\) punkt procentowy nie oznacza spadku o \(1\%\). **Odpowiedź.** **B.** \(25\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. (0−1) Wersja Wersja 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje III. Modelowanie I II obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk matematyczne. z lokat (1.9). B A

B

Z obu warunków wyznaczamy liczby \(a\) i \(b\): \[0{,}75a=177\Rightarrow a=\frac{177}{0{,}75}=236,\] \[0{,}59b=177\Rightarrow b=\frac{177}{0{,}59}=300.\] Zatem \(b>a\) oraz \[b-a=300-236=64.\] **Odpowiedź.** **B.** \(b-a=64\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

C

Każda z dwóch obniżek o \(10\%\) mnoży cenę przez \(0{,}9\), więc cena końcowa spełnia \[x\cdot0{,}9^2=1944,\qquad 0{,}81x=1944.\] Stąd \[x=\frac{1944}{0{,}81}=2400.\] Sprawdzenie: \(2400\cdot0{,}9=2160\), \(2160\cdot0{,}9=1944\). **Odpowiedź.** **C.** \(2400\) złotych

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

C. \(1000\),\(00\) zł

Cena po obniżce o \(15\%\) stanowi \(85\%\) ceny wyjściowej \(x\): \[0{,}85x=850.\] Stąd \[x=\frac{850}{0{,}85}=1000.\] Sprawdzenie: \(15\%\) z \(1000\) zł to \(150\) zł, a \(1000-150=850\). **Odpowiedź.** **C.** \(1000{,}00\) zł

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. (0−1) Wersja Wersja 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje III. Modelowanie I II obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk matematyczne. z lokat (1.9). C A

B

Niech \(x\) oznacza cenę przed obniżką. Obniżka o \(10\%\) to \(0{,}1x\), więc \[0{,}1x=2018,\qquad x=20\,180.\] Po obniżce towar kosztuje \[x-2018=20\,180-2018=18\,162.\] Pytanie dotyczy ceny **po** obniżce, a nie ceny wyjściowej — ta ostatnia to wariant **A**. **Odpowiedź.** **B.** \(18\,162\) zł

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

C

Z warunku \(0{,}15a=0{,}10b\) wyznaczamy zależność między liczbami: \[b=\frac{0{,}15}{0{,}10}a=1{,}5a.\] Podstawiamy do równania \(ab=1350\): \[a\cdot1{,}5a=1350,\qquad a^2=900,\qquad a=30,\] przy czym bierzemy pierwiastek dodatni, bo liczby są dodatnie. Zatem \[b=1{,}5\cdot30=45.\] **Odpowiedź.** **C.** \(45\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

A. \(4050\)

Wzrost o \(120\%\) oznacza, że obecna liczebność stanowi \(220\%\) liczebności z \(31\) grudnia \(2011\) r. Oznaczając tę ostatnią przez \(x\), mamy \[2{,}2x=8910.\] Stąd \[x=\frac{8910}{2{,}2}=4050.\] Sprawdzenie: \(120\%\) z \(4050\) to \(4860\), a \(4050+4860=8910\). **Odpowiedź.** **A.** \(4050\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. (0−1) Wersja Wersja 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje III. Modelowanie I II obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk matematyczne. z lokat (1.9). A B

**D.** o więcej niż \(60\%\) .

Niech \(r\) będzie promieniem drugiego koła. Wtedy promień pierwszego wynosi \(1{,}3r\), a pola kół są równe \[P_1=\pi(1{,}3r)^2=1{,}69\pi r^2,\qquad P_2=\pi r^2.\] Zatem \[\frac{P_1-P_2}{P_2}=1{,}69-1=0{,}69=69\%.\] Pole rośnie w kwadracie skali, więc wzrost promienia o \(30\%\) daje wzrost pola o więcej niż \(60\%\). **Odpowiedź.** **D.** o więcej niż \(60\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B

Każda podwyżka mnoży cenę przez odpowiedni współczynnik, a druga liczona jest od ceny już podwyższonej: \[1{,}2\cdot1{,}3=1{,}56.\] Cena końcowa stanowi \(156\%\) ceny wyjściowej, więc obie podwyżki można zastąpić jedną podwyżką o \[156\%-100\%=56\%.\] Dodanie procentów \((20\%+30\%=50\%)\) daje wariant **A** i jest błędne. **Odpowiedź.** **B.** o \(56\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**A.** \(c=1{,}5a\)

Z treści mamy \(b=0{,}48a\) oraz \(b=0{,}32c\). Zatem \[0{,}48a=0{,}32c,\qquad c=\frac{0{,}48}{0{,}32}a=1{,}5a.\]

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** procenty - porównywanie wielkości opisanych procentowo.

B

Obniżkę odnosimy do ceny początkowej: \[\frac{220-176}{220}=\frac{44}{220}=0{,}2=20\%.\] **Odpowiedź.** **B.** \(20\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Średni przyrost po zaokrągleniu: \(8\,\text{cm}\). Błąd względny: \(4\%\).

Średni roczny przyrost wynosi \[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{25}{3}=8\frac13\,\text{cm}.\] Po zaokrągleniu otrzymujemy \(8\,\text{cm}\). Błąd względny jest równy \[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}=\frac{1/3}{25/3}=\frac1{25}=0{,}04=4\%.\]

**2 pkt** – obliczenie średniej \(8\frac13\,\text{cm}\), jej zaokrąglenie i błędu względnego \(4\%\) **1 pkt** – poprawna średnia albo konsekwentne obliczenie błędu dla dopuszczalnego przybliżenia **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G9.4 średnia arytmetyczna 1.7 błąd bezwzględny i względny przybliżenia.

**B.** \(36\,600\,\text{zł}\).

Cena brutto stanowi \(123\%\) ceny netto. Zatem \[C_{netto}=\frac{45\,018}{1{,}23}=36\,600\,\text{zł}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste i obliczenia procentowe.

\[\frac ab=2.\]

Po zmianie długości boków nowy prostokąt ma boki \(0{,}9a\) i \(1{,}2b\). Równość obwodów daje \[2\cdot0{,}9a+2\cdot1{,}2b=2a+2b.\] Po uproszczeniu \[0{,}4b=0{,}2a,\] a zatem \[\frac ab=\frac{0{,}4}{0{,}2}=2.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny stosunek \(\frac ab=2\) **1 pkt** – poprawne równanie wynikające z równości obwodów **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.4. (gimnazjum) Zdający stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym.

\[\frac ab=2.\]

Po zmianach boki mają długości \(0{,}9a\) oraz \(1{,}2b\). Równość obwodów daje \[2\cdot0{,}9a+2\cdot1{,}2b=2a+2b.\] Po uproszczeniu \[0{,}4b=0{,}2a,\] a więc \[\frac ab=\frac{0{,}4}{0{,}2}=2.\]

**2 pkt** – poprawny stosunek \(\frac ab=2\) **1 pkt** – poprawne zapisanie nowych długości boków i równania obwodów, lecz błąd w przekształceniach **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.4. (gimnazjum) Zdający stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym.

**C.** \(1000\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac4{100}\right)\).

Roczne odsetki przed opodatkowaniem wynoszą \(1000\cdot\frac4{100}\). Po potrąceniu podatku pozostaje \(100\%-19\%=81\%\) odsetek. Kwota wypłaty jest więc równa \[1000+1000\cdot\frac4{100}\cdot\frac{81}{100}=1000\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac4{100}\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 1.9 zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki i zysk z lokat.

**D.** Pole zmniejszy się o \(4\%\).

Jeden wymiar zostaje pomnożony przez \(1{,}2\), a drugi przez \(0{,}8\). Pole zmienia się więc w stosunku \[1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96.\] Nowe pole stanowi \(96\%\) pola początkowego, czyli jest mniejsze o \(4\%\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, procenty i skala pola.

**A.** \(4\%\).

Mamy \(\frac5{16}=0{,}3125\). Błąd bezwzględny przybliżenia wynosi \(0{,}0125\), więc błąd względny jest równy \[\frac{0{,}0125}{0{,}3125}\cdot100\%=0{,}04\cdot100\%=4\%.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, przybliżenia i błąd względny.

C

Stosunek \(12:8:3:2\) dzieli kapitał na \[12+8+3+2=25\] równych części. Udział największego inwestora to \(12\) z nich: \[\frac{12}{25}=0{,}48=48\%.\] **Odpowiedź.** **C.** \(48\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(43\%\)

Podwyżka o \(p\%\) mnoży cenę przez \(1+\frac p{100}\). Dwie kolejne podwyżki dają więc cenę \[c\cdot1{,}30\cdot1{,}10=1{,}43\,c.\] Cena wzrosła zatem \(1{,}43\) raza, czyli o \(43\%\). **Odpowiedź.** D. \(43\%\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1.9) Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

B. c = \(52\)

„O \(50\%\) większa” znaczy \(150\%\) liczby \(c\), zatem \[1{,}5c=78,\qquad c=\frac{78}{1{,}5}=52.\] Sprawdzenie: \(52+50\%\cdot52=52+26=78\). **Odpowiedź.** **B.** \(c=52\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie pojęcia procentu w obliczeniach (II.1.d).

C

Przyjmijmy, że oszczędności to \(100\%\). Na prezent dla Maćka poszła połowa, czyli \(50\%\); zostało \(50\%\). Na prezent dla Dominiki poszło \(10\%\) **reszty**, a nie \(10\%\) całości: \[0{,}1\cdot50\%=5\%.\] Julii pozostało zatem \[50\%-5\%=45\%.\] **Odpowiedź.** **C.** \(45\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**C.** \(y=\dfrac{10}{7}x\)

Warunek zapisujemy równaniem \(x=0{,}7y\), czyli \(x=\frac{7}{10}y\). Wyznaczamy \(y\): \[y=\frac{10}{7}x.\] Odwrotność ułamka \(\frac7{10}\) to \(\frac{10}{7}\), a nie \(\frac{13}{10}\) — wariant **A** powstaje z błędnego „dodania” brakujących \(30\%\) do \(x\). **Odpowiedź.** **C.** \(y=\frac{10}{7}x\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(125\)% liczby b

Z warunku \(0{,}12a=0{,}15b\) wyznaczamy \(a\): \[a=\frac{0{,}15}{0{,}12}b=1{,}25b.\] Liczba \(a\) stanowi więc \(125\%\) liczby \(b\). **Odpowiedź.** **B.** \(125\%\) liczby \(b\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Modelowanie matematyczne. Zastosowanie pojęcia procentu (III.1.d).

**A.** \(0\)

Obliczamy oba składniki: \[17\%\cdot21=0{,}17\cdot21=3{,}57,\qquad 21\%\cdot17=0{,}21\cdot17=3{,}57.\] Oba iloczyny są równe, bo mnożenie jest przemienne: \(\frac{17}{100}\cdot21=\frac{21}{100}\cdot17\). Zatem różnica wynosi \(0\). **Odpowiedź.** **A.** \(0\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**C.** \(200\,000\) zł

Marża stanowi \(1{,}5\%\) pożyczonego kapitału \(k\), więc \[0{,}015k=3000.\] Stąd \[k=\frac{3000}{0{,}015}=200\,000.\] **Odpowiedź.** **C.** \(200\,000\) zł

**Zakres umiejętności:** Modelowanie matematyczne. **Opis wymagań:** Wykonanie obliczeń procentowych (III.1.d).

A. \(44\)%

Obie obniżki liczone są od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy współczynniki: \[0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56.\] Cena końcowa stanowi \(56\%\) ceny początkowej, więc zmniejszyła się o \[100\%-56\%=44\%.\] **Odpowiedź.** **A.** \(44\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Modelowanie matematyczne. Wykonanie obliczeń procentowych (III.1.d).

**C.** o \(21\%\)

Niech \(a\) oznacza długość boku kwadratu \(k_1\). Wtedy bok kwadratu \(k_2\) jest równy \(1{,}1a\), a pola wynoszą \[P_1=a^2,\qquad P_2=(1{,}1a)^2=1{,}21a^2.\] Pole rośnie w stosunku \[\frac{P_2-P_1}{P_1}=\frac{1{,}21a^2-a^2}{a^2}=0{,}21.\] **Odpowiedź.** **C.** o \(21\%\)

**Zakres umiejętności (standardy):** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Opis wymagań:** Wykonuje obliczenia procentowe; wykorzystuje własności figur podobnych.

**C.** \(12\%\)

Obniżka mnoży cenę przez \(0{,}8\), a późniejsza podwyżka — liczona już od nowej ceny — przez \(1{,}1\): \[0{,}8\cdot1{,}1=0{,}88.\] Cena końcowa stanowi \(88\%\) ceny pierwotnej, więc zmniejszyła się o \[100\%-88\%=12\%.\] Obniżka o \(20\%\) i podwyżka o \(10\%\) nie znoszą się do \(-10\%\), bo liczone są od różnych podstaw. **Odpowiedź.** **C.** \(12\%\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – wykonuje obliczenia procentowe.

B. \(2100\) zł

Pierwsza rata stanowi \(9\%\) ceny roweru \(x\): \[0{,}09x=189.\] Stąd \[x=\frac{189}{0{,}09}=2100.\] Sprawdzenie: \(9\%\) z \(2100\) zł to \(189\) zł. **Odpowiedź.** **B.** \(2100\ \text{zł}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykonanie obliczeń procentowych.

**C.** \(x+0{,}15\cdot x=230\)

\(15\%\) liczby \(x\) to \(0{,}15x\). Suma liczby i tych piętnastu procent ma być równa \(230\), więc szukanym równaniem jest \[x+0{,}15x=230.\] Równanie to można też zapisać jako \(1{,}15x=230\); wariant **B** opisuje sytuację odwrotną — odjęcie \(15\%\). **Odpowiedź.** **C.** \(x+0{,}15\cdot x=230\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – zapisuje zależność procentową równaniem.

Pole prostokąta o bokach \(c\) i \(d\) stanowi \(108\%\) pola prostokąta o bokach \(a\) i \(b\).

Z treści \(c=0{,}9a\) oraz \(d=1{,}2b\). Porównujemy pola: \[P_1=ab,\qquad P_2=cd=0{,}9a\cdot1{,}2b=1{,}08ab.\] Zatem \[\frac{P_2}{P_1}=1{,}08=108\%.\] Zmniejszenie jednego boku o \(10\%\) i zwiększenie drugiego o \(20\%\) nie znoszą się — pole rośnie o \(8\%\), bo \(0{,}9\cdot1{,}2=1{,}08\), a nie \(1\). **Odpowiedź.** Pole drugiego prostokąta stanowi \(108\%\) pola pierwszego.

**Zakres umiejętności:** wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Opis wymagań:** obliczenia procentowe; wyrażanie pola figury za pomocą długości jej boków.

**D.** \(24\,300\ \text{zł}\)

Dwie obniżki po \(10\%\), każda od ceny bieżącej, mnożą cenę przez \(0{,}9^2\): \[30\,000\cdot0{,}9^2=30\,000\cdot0{,}81=24\,300.\] Obniżka łączna wynosi \(19\%\), a nie \(20\%\) — dlatego wariant **A** (\(24\,400\) zł) jest błędny. **Odpowiedź.** **D.** \(24\,300\ \text{zł}\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – wykonuje kolejne obliczenia procentowe.

**A.** \(p<40\)

Szukamy \(p\) z równania \(\frac{p}{100}\cdot80=30\), czyli \[p=\frac{30}{80}\cdot100=37{,}5.\] Ponieważ \(37{,}5<40\), prawdziwa jest nierówność \(p<40\). **Odpowiedź.** **A.** \(p<40\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**A.** \(x=150\)

Warunek zapisujemy równaniem \[0{,}04x=6.\] Stąd \[x=\frac{6}{0{,}04}=150.\] **Odpowiedź.** **A.** \(x=150\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(y=x+0{,}2x\)

Warunek „\(y\) to \(120\%\) liczby \(x\)” zapisujemy jako \[y=1{,}2x=x+0{,}2x.\] Wariant **A** dodaje do \(x\) stałą \(0{,}2\), a nie \(20\%\) liczby \(x\) — to inne działanie. **Odpowiedź.** **B.** \(y=x+0{,}2x\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(180\) zł

Cena po obniżce o \(30\%\) stanowi \(70\%\) ceny wyjściowej \(x\): \[0{,}7x=126.\] Stąd \[x=\frac{126}{0{,}7}=180.\] Sprawdzenie: \(30\%\) z \(180\) zł to \(54\) zł, a \(180-54=126\). **Odpowiedź.** **B.** \(180\ \text{zł}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Modelowanie matematyczne. Wykonywanie obliczeń procentowych.

**A.** \(73{,}20\ \text{zł}\)

Podatek VAT dolicza się do ceny netto, więc cena brutto stanowi \(122\%\) ceny bez podatku: \[60\cdot1{,}22=73{,}20.\] **Odpowiedź.** **A.** \(73{,}20\ \text{zł}\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – oblicza cenę po doliczeniu procentu.

**C.** \(45\%\)

Udział biletów ulgowych to iloraz ich liczby przez liczbę wszystkich sprzedanych biletów: \[\frac{126}{280}=0{,}45=45\%.\] **Odpowiedź.** **C.** \(45\%\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**B.** \(x=150\)

Warunek zapisujemy równaniem \[0{,}06x=9.\] Stąd \[x=\frac{9}{0{,}06}=150.\] Sprawdzenie: \(6\%\) ze \(150\) to \(9\). **Odpowiedź.** **B.** \(x=150\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Początkowa kwota lokaty była równa \(8000\,\text{zł}\).

Dziewięcioro wnucząt otrzymało po \(1029\,\text{zł}\), więc dziadek wypłacił z banku \[9\cdot1029=9261\ \text{zł}.\] Odsetki są kapitalizowane po każdym roku, więc kapitał rośnie w postępie geometrycznym o ilorazie \(1{,}05\). Po trzech latach kwota początkowa \(K\) urośnie do \[K\cdot(1{,}05)^3=9261.\] Ponieważ \((1{,}05)^3=1{,}157625\), otrzymujemy \[K=\frac{9261}{1{,}157625}=8000.\] Sprawdzenie: \(8000\cdot1{,}05=8400\), \(8400\cdot1{,}05=8820\), \(8820\cdot1{,}05=9261\). **Odpowiedź.** Początkowa kwota lokaty wynosiła \(8000\,\text{zł}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – obliczenie kapitału końcowego: \(K_{3}=9\cdot 1029=9261\). **8.2. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(K_{0}\) – kapitałem początkowym: \(K_{0}\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^{3}=9261\). **8.3. (1 pkt)** – obliczenie kwoty \(K_{0}\): \(8000\) zł.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) O \(64\) zł. b) \(56{,}5\%\). c) \(848\) zł.

Z diagramu odczytujemy udziały: inne \(5\%\), ubrania \(12\%\), gaz i energia \(14\%\), czynsz podany kwotowo \(400\) zł, a udział wyżywienia trzeba obliczyć. Cała kwota to \(3200\) zł. **a)** Wydatki na gaz i energię oraz na ubrania: \[0{,}14\cdot3200=448\ \text{zł},\qquad 0{,}12\cdot3200=384\ \text{zł},\] więc różnica wynosi \(448-384=64\) zł. **b)** Najpierw zamieniamy czynsz na procent całej kwoty: \[\frac{400}{3200}=0{,}125=12{,}5\%.\] Wszystkie udziały sumują się do \(100\%\), zatem na wyżywienie przypada \[100\%-(5\%+12\%+14\%+12{,}5\%)=100\%-43{,}5\%=56{,}5\%.\] **c)** Gaz i energia razem z czynszem: \[448+400=848\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** a) O \(64\) zł. b) \(56{,}5\%\). c) \(848\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – obliczenie różnicy wydatków: \(64\) zł. **1.2. (1 pkt)** – obliczenie, ile procent kwoty \(3200\) zł Kowalscy przeznaczają na czynsz: \(12{,}5\%\). **1.3. (1 pkt)** – obliczenie, ile procent kwoty \(3200\) zł Kowalscy przeznaczają na wyżywienie: \(56{,}5\%\). **1.4. (1 pkt)** – obliczenie łącznej kwoty, którą państwo Kowalscy przeznaczają miesięcznie na gaz i energię oraz czynsz: \(848\) zł.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Powierzchnia klombu wzrośnie o \(5{,}0625\%\), czyli o około \(5\%\).

Z rysunku odczytujemy, że grządka o szerokości \(1\,\mathrm{m}\) otacza klomb pierścieniem, więc promień powiększonego koła jest równy \[R=40+1=41\ \mathrm{m}.\] Pola obu kół wynoszą \[P_1=\pi\cdot40^2=1600\pi,\qquad P_2=\pi\cdot41^2=1681\pi.\] Przyrost powierzchni odnosimy do pola wyjściowego: \[\frac{P_2-P_1}{P_1}=\frac{1681\pi-1600\pi}{1600\pi}=\frac{81}{1600}=0{,}050625.\] Liczba \(\pi\) skraca się, więc wynik nie zależy od jej przybliżenia. **Odpowiedź.** Powierzchnia klombu wzrośnie o \(5{,}0625\%\), czyli o około \(5\%\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] \(41\) m i \(40\) m: \(P_{2}-P_{1}=\pi\cdot 41^{2}-\pi\cdot 40^{2}=81\pi\). […] wartości przybliżone. **5.2. (1 pkt)** – zapisanie właściwego ilorazu: \(\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot 100\%\). Może też być wyznaczony stosunek \(\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1681}{1600}=1{,}050625\). **5.3. (1 pkt)** – obliczenie szukanego procentu: \(\frac{81}{16}\%\) lub \(5\tfrac{1}{16}\%\) lub \(5{,}0625\%\). Uznajemy również wynik zaokrąglony do \(1\%\): \(5\%\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pierwotna cena wycieczki wynosiła \(1500\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** To zadanie o procentach składanych: cena najpierw rosła, potem malała, ale każda zmiana liczona jest od innej podstawy. Znamy cenę końcową, a szukamy początkowej, więc oznaczamy ją niewiadomą i zapisujemy równanie opisujące obie zmiany po kolei. **Krok \(2\).** Niech \(x\) oznacza pierwotną cenę wycieczki (w złotych). Podwyżka o \(5\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}05\), bo nowa cena to \(100\%+5\%=105\%\) starej: \[x\ \longrightarrow\ 1{,}05x.\] **Krok \(3\).** Obniżka o \(8\%\) liczona jest już od ceny po podwyżce i oznacza mnożenie przez \(0{,}92\), bo pozostaje \(100\%-8\%=92\%\): \[1{,}05x\ \longrightarrow\ 0{,}92\cdot1{,}05x.\] **Krok \(4\).** Cena promocyjna wynosi \(1449\) zł, więc \[0{,}92\cdot1{,}05\cdot x=1449.\] **Krok \(5\).** Obliczamy iloczyn współczynników: \(0{,}92\cdot1{,}05=0{,}966\), zatem \[0{,}966x=1449.\] **Krok \(6\).** Stąd \[x=\frac{1449}{0{,}966}=\frac{1449000}{966}=1500.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: \(1500\cdot1{,}05=1575\) zł po podwyżce, a \(1575\cdot0{,}92=1449\) zł po obniżce. Zgadza się. **Uwaga.** Nie wolno łączyć procentów, mówiąc, że \(5\%\) w górę i \(8\%\) w dół daje razem \(3\%\) w dół — obie zmiany liczone są od różnych kwot. Widać to po wyniku: \(0{,}966\) to obniżka o \(3{,}4\%\), a nie o \(3\%\). **Odpowiedź.** Pierwotna cena wycieczki dla jednego uczestnika wynosiła \(1500\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] pierwotną cenę wycieczki. **1.2. (1 pkt)** – Zapisanie równania: \(0{,}92\cdot(1{,}05\cdot x)=1449\). **1.3. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania: \(x=1500\) i sformułowanie odpowiedzi. Jeśli zdający nie wprowadzi opisu niewiadomej i nie sformułuje odpowiedzi, to za tę czynność nie przyznajemy punktu. **II sposób rozwiązania.** **1.1. (1 pkt)** – Obliczenie ceny wycieczki przed obniżką: \(1449:0{,}92=1575\) zł. **1.2. (1 pkt)** – Obliczenie ceny wycieczki przed podwyżką: \(1575:1{,}05=1500\) zł. **1.3. (1 pkt)** – Podanie odpowiedzi: \(1500\) zł.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Klasa I A: \(5{,}6\) pkt; klasa I B: \(6{,}08\) pkt. b) \(48\%\). c) Mediana klasy I A: \(5{,}5\).

Wyniki klasy I A odczytujemy z wykresu słupkowego, a wyniki klasy I B z tabeli. **a)** Klasa I A liczy \[1+2+4+2+2+4+2+2+4+4+3=30\] uczniów, a suma ich punktów jest równa \[0\cdot1+1\cdot2+2\cdot4+3\cdot2+4\cdot2+5\cdot4+6\cdot2+7\cdot2+8\cdot4+9\cdot4+10\cdot3=168,\] więc średnia wynosi \(\frac{168}{30}=5{,}6\). Klasa I B liczy \[1+2+1+2+1+2+4+4+1+2+5=25\] uczniów, a suma punktów jest równa \[0+2+2+6+4+10+24+28+8+18+50=152,\] więc średnia wynosi \(\frac{152}{25}=6{,}08\). **b)** Wynik wyższy niż \(6{,}08\) uzyskali uczniowie z \(7\), \(8\), \(9\) i \(10\) punktami — łącznie \[4+1+2+5=12\] osób. Stanowi to \[\frac{12}{25}=0{,}48=48\%\] uczniów klasy I B. **c)** Klasa I A liczy \(30\) uczniów, czyli parzyście wielu, więc medianą jest średnia arytmetyczna \(15\).\ i \(16\).\ wyniku w kolejności niemalejącej. Liczności skumulowane to \(1,3,7,9,11,15,17,\ldots\), zatem piętnastym wynikiem jest \(5\), a szesnastym \(6\). Mediana wynosi \[\frac{5+6}{2}=5{,}5.\] **Odpowiedź.** a) Średnie: I A — \(5{,}6\), I B — \(6{,}08\). b) \(48\%\). c) Mediana klasy I A jest równa \(5{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (2 pkt)** – […] średnia w klasie I A \(=5{,}6\), średnia w klasie I B \(=6{,}08\). Po 1 punkcie za każdy poprawny wynik. **9.2. (1 pkt)** – Podanie odpowiedzi: \(48\%\). **9.3. (1 pkt)** – Wyznaczenie mediany dla klasy I A: mediana \(=5{,}5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Ośmiolatkowi należy przeznaczyć \(40\,000\) zł, a dziesięciolatkowi \(44\,100\) zł (obie kwoty po kapitalizacji dają tę samą wypłatę: \(40\,000\cdot1{,}05^{13}=44\,100\cdot1{,}05^{11}\)).

**Krok \(1\).** Bank stosuje kapitalizację roczną przy stopie \(5\%\), czyli po każdym roku kapitał mnoży się przez \(1{,}05\). Jeśli wpłacimy \(K\) złotych i zostawimy je na \(n\) lat, to otrzymamy \(K\cdot 1{,}05^{\,n}\). To jest procent składany i na tym opiera się całe zadanie. **Krok \(2\).** Ustalamy, jak długo leżą pieniądze każdego dziecka. Młodsze ma \(8\) lat, a odbierze pieniądze w wieku \(21\) lat, czyli po \(21-8=13\) latach. Starsze ma \(10\) lat, więc czeka \(21-10=11\) lat. **Krok \(3\).** Oznaczmy przez \(x\) kwotę przeznaczoną dla ośmiolatka, a przez \(y\) kwotę dla dziesięciolatka. Cały spadek dzielimy, więc \[x+y=84\,100.\] **Krok \(4\).** Wypłaty mają być równe, a wypłata to kwota po odpowiedniej liczbie lat oszczędzania: \[x\cdot 1{,}05^{13}=y\cdot 1{,}05^{11}.\] **Krok \(5\).** Tego równania nie trzeba liczyć na kalkulatorze. Dzielimy obie strony przez \(1{,}05^{11}\) i korzystamy z własności potęg \(\frac{1{,}05^{13}}{1{,}05^{11}}=1{,}05^{2}\): \[x\cdot 1{,}05^{2}=y,\qquad\text{czyli}\qquad y=1{,}1025\,x.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy to do równania z kroku \(3\): \[x+1{,}1025x=84\,100,\qquad 2{,}1025x=84\,100.\] **Krok \(7\).** Stąd \[x=\frac{84\,100}{2{,}1025}=40\,000,\] co łatwo sprawdzić: \(2{,}1025\cdot 40\,000=84\,100\). **Krok \(8\).** Drugą kwotę obliczamy z sumy: \[y=84\,100-40\,000=44\,100.\] **Uwaga.** Wynik jest zgodny z intuicją: młodsze dziecko dostaje mniej, bo jego pieniądze pracują w banku dwa lata dłużej. Gdyby wyszło odwrotnie, byłby to sygnał, że pomyliliśmy okresy oszczędzania. **Odpowiedź.** Ośmiolatkowi należy przeznaczyć \(40\,000\) zł, a dziesięciolatkowi \(44\,100\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – […] dla ośmioletniego dziecka, \(y\) – kwota wpłacona dla dziesięcioletniego dziecka, \(x+y=84100\) **9.2. (1 pkt)** – za stosowanie w obliczeniach procentu składanego **9.3. (1 pkt)** – ułożenie układu równań: \(\begin{cases}x+y=84100\\ x\left(1+\frac{1}{20}\right)^{13}=y\left(1+\frac{1}{20}\right)^{11}\end{cases}\) **9.4. (1 pkt)** – przekształcenie układu równań do postaci: \(\begin{cases}x+y=84100\\ x\left(1+\frac{1}{20}\right)^{2}=y\end{cases}\) **9.5. (2 pkt)** – rozwiązanie układu równań i sformułowanie odpowiedzi (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za poprawne obliczenia): \(x=40000\) zł, \(y=44100\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Korzystniejsza dla kredytobiorcy jest oferta banku \(B\).

Oznaczmy przez \(K\) kwotę kredytu i porównajmy, ile trzeba oddać po czterech latach w każdym z banków. **Bank \(A\).** Oprocentowanie \(12\%\) w skali roku przy kapitalizacji półrocznej oznacza stopę \(6\%\) na okres, a okresów jest \(8\): \[K_A=K\cdot(1{,}06)^{8}\approx1{,}5938K.\] **Bank \(B\).** Kapitalizacja roczna przy stopie \(11\%\) przez cztery lata, a do tego prowizja \(4\%\) kwoty kredytu: \[K_B=K\cdot(1{,}11)^{4}+0{,}04K\approx1{,}5181K+0{,}04K=1{,}5581K.\] Ponieważ \(1{,}5581K<1{,}5938K\), w banku \(B\) kredytobiorca odda mniej — różnica wynosi około \(3{,}6\%\) kwoty kredytu. **Odpowiedź.** Korzystniejsza jest oferta banku \(B\).

**1. (1 pkt)** – Zastosowanie prawidłowego algorytmu dla wyznaczenia kwoty wraz z odsetkami w przypadku oferty banku B: \(K\cdot(1{,}11)^{4}+0{,}04K\) **2. (1 pkt)** – Ustalenie przybliżonych wartości spłat w ofertach banków A i B: A – \(1{,}59K\), B – \(1{,}56K\) **3. (1 pkt)** – Wybranie korzystniejszej oferty: oferta banku B

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Powierzchnia ekranu wzrośnie o około \(132{,}2\%\).

Stosunek długości boków pozostaje bez zmian, więc oba ekrany są prostokątami podobnymi. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi przekątnych: \[k=\frac{32}{21}.\] Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali: \[\frac{P_2}{P_1}=k^2=\left(\frac{32}{21}\right)^2=\frac{1024}{441}\approx2{,}321995.\] Przyrost powierzchni to \[\frac{P_2-P_1}{P_1}=k^2-1=\frac{1024-441}{441}=\frac{583}{441}\approx1{,}321995,\] czyli około \(132{,}2\%\) po zaokrągleniu do \(0{,}1\%\). **Odpowiedź.** Powierzchnia ekranu zwiększy się o około \(132{,}2\%\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] wprowadzenie dokładnie opisanych oznaczeń: \(AF=21\) cali, \(AC=32\) cale. **5.2. (1 pkt)** – zastosowanie podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(AEF\) do wyznaczenia skali podobieństwa \(k\): \(k=\frac{AC}{AF}=\frac{32}{21}\). **5.3. (1 pkt)** – obliczenie stosunku pól powierzchni ekranów: \(\frac{P_{2}}{P_{1}}=k^{2}=\left(\frac{32}{21}\right)^{2}\approx 2{,}322\). **5.4. (1 pkt)** – wyrażenie różnicy pól powierzchni ekranów w procentach: \(132{,}2\%\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Składka na ubezpieczenie zdrowotne wynosi \(84{,}14\,\text{zł}\).

Zadanie zawiera dwa procenty liczone od **różnych** podstaw, więc obliczamy je kolejno. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne to \(60\%\) przeciętnego wynagrodzenia: \[0{,}6\cdot1869{,}76=1121{,}856\ \text{zł}.\] Składka zdrowotna to \(7{,}5\%\) tej podstawy: \[0{,}075\cdot1121{,}856=84{,}1392\ \text{zł}.\] Po zaokrągleniu do \(1\) grosza otrzymujemy \(84{,}14\) zł. **Odpowiedź.** Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa \(84{,}14\,\text{zł}\).

**1. (1 pkt)** – obliczenie wysokości podstawy wymiaru składek. Odp. \(60\%\cdot 1869{,}76=1121{,}856\). Punkt przyznajemy także za odpowiedź \(1121{,}86\) zł. **2. (1 pkt)** – obliczenie wysokości składki na ubezpieczenie zdrowotne. Odp. \(7{,}5\%\cdot 1121{,}86=84{,}1394\) **3. (1 pkt)** – podanie wysokości składki na ubezpieczenie zdrowotne. Odp. \(84\) zł \(14\) gr. W odpowiedzi wymagane jest poprawne zaokrąglenie.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(56{,}5\%\). b) \(848\) zł.

Z diagramu odczytujemy: inne \(5\%\), ubrania \(12\%\), gaz i energia \(14\%\), czynsz \(400\) zł; udział wyżywienia nie jest podany. Cała kwota wynosi \(3200\) zł. **a)** Czynsz wyrażamy w procentach całej kwoty: \[\frac{400}{3200}=0{,}125=12{,}5\%.\] Wszystkie części diagramu kołowego sumują się do \(100\%\), więc na wyżywienie przypada \[100\%-(5\%+12\%+14\%+12{,}5\%)=56{,}5\%.\] **b)** Wydatki na gaz i energię to \(0{,}14\cdot3200=448\) zł, a czynsz to \(400\) zł, zatem razem \[448+400=848\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** a) Na wyżywienie przypada \(56{,}5\%\) kwoty. b) Na gaz, energię i czynsz państwo Kowalscy wydają łącznie \(848\) zł miesięcznie.

**5. (1 pkt)** – obliczenie, ile procent kwoty \(3200\) złotych stanowi kwota przeznaczona na wyżywienie: \(56{,}5\%\). **6. (1 pkt)** – obliczenie kwoty pieniędzy, jaką państwo Kowalscy wydają miesięcznie na gaz i energię: \(448\) złotych. **7. (1 pkt)** – obliczenie łącznej kwoty, jaką państwo Kowalscy wydają miesięcznie na gaz i energię oraz czynsz: \(848\) złotych.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Rodzina przeznaczyła na wyżywienie \(1200\) zł.

Niech \(x\) oznacza kwotę przeznaczoną na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano \(0{,}3x\), a w drugim o \(60\) zł mniej, czyli \(0{,}3x-60\). Po dwóch tygodniach zostało \[x-0{,}3x-(0{,}3x-60)=0{,}4x+60.\] W trzecim tygodniu wydano połowę tej reszty, więc na czwarty tydzień została druga połowa: \[\frac{0{,}4x+60}{2}=0{,}2x+30.\] Z treści wiadomo, że jest to \(270\) zł: \[0{,}2x+30=270,\qquad 0{,}2x=240,\qquad x=1200.\] Sprawdzenie: tydzień I — \(360\) zł, tydzień II — \(300\) zł, reszta \(540\) zł, z czego tydzień III — \(270\) zł i tydzień IV — \(270\) zł. **Odpowiedź.** Rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie \(1200\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – analiza zadania i przyjęcie oznaczeń: \(0{,}3x\) – wydatki w pierwszym tygodniu, \(0{,}3x-60\) – wydatki w drugim tygodniu **7.2. (1 pkt)** – zapisanie wydatków w trzecim tygodniu: \(\frac12\left[x-(0{,}3x+0{,}3x-60)\right]\) (lub \(\frac12\cdot540\) zł) **7.3. (1 pkt)** – ułożenie równania pozwalającego wyznaczyć szukaną kwotę: \(0{,}3x+(0{,}3x-60)+\frac12\left[x-(0{,}3x+0{,}3x-60)\right]+270=x\) **7.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i odpowiedź: \(x=1200\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.