Stożek: tworząca, przekrój osiowy, pole powierzchni i objętość

**C.** \(120^{\circ}\)

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka otrzymujemy wycinek koła o promieniu równym tworzącej \(l=3\), a długość łuku tego wycinka jest równa długości okręgu podstawy: \[2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi.\] Miara kąta środkowego wycinka spełnia proporcję \[\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac{r}{l}=\frac13,\] skąd \(\alpha=120^\circ\). **Odpowiedź.** C. \(120^{\circ}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** G10.5) Zdający oblicza długość okręgu i łuku okręgu; G10.6) Zdający oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego. G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni […] stożka […].

**P, P.** Pole boczne wynosi \(P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot6=18\pi\), czyli jest dwukrotnie większe od pola podstawy \(P_p=9\pi\). Przekrój osiowy ma boki \(6\), \(6\), \(6\), więc kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^{\circ}\).

**Stwierdzenie 1.** Pole podstawy stożka o promieniu \(r=3\) jest równe \(P_p=\pi r^{2}=9\pi\), a pole powierzchni bocznej — \(P_b=\pi rl\), gdzie \(l=6\) jest tworzącą: \[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi=2\cdot9\pi=2P_p.\] Stwierdzenie jest **prawdziwe**. **Stwierdzenie 2.** Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej i podstawie równej średnicy podstawy stożka: \[l=l=6,\qquad 2r=6.\] Wszystkie boki są równe, więc przekrój jest trójkątem równobocznym, a kąt rozwarcia stożka, czyli kąt przy jego wierzchołku, ma miarę \(60^{\circ}\). Stwierdzenie jest **prawdziwe**. **Odpowiedź.** P, P

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. X.5) i X.4) Zdający oblicza pole powierzchni stożka oraz rozpoznaje i oblicza kąt rozwarcia stożka.

**D.** \(\frac43\)

Oznaczmy promień podstawy walca przez \(r\); wtedy promień podstawy stożka wynosi \(2r\), a wspólna wysokość — \(h\). \[V_{\text{st}}=\frac13\pi(2r)^{2}h=\frac43\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{w}}=\pi r^{2}h.\] Stąd \[\frac{V_{\text{st}}}{V_{\text{w}}}=\frac{\frac43\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac43.\] **Odpowiedź.** Stosunek jest równy \(\frac43\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] walca, stożka […].

Pochodna funkcji \(V\) ma znak wyrażenia \(h^{2}-75\), więc funkcja maleje na \((5,5\sqrt{3})\) i rośnie na \((5\sqrt{3},+\infty)\). Minimum występuje dla \(h=5\sqrt{3}\), a jego wartość wynosi \(V_{\min}=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji różniczkowalnej na przedziale otwartym, więc wyznaczamy pochodną (ze wzoru na pochodną ilorazu) i badamy jej znak. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór w wygodniejszej postaci, wyłączając stałą: \[V(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{3}}{h^{2}-25},\qquad h\in(5,+\infty).\] **Krok \(3\).** Różniczkujemy iloraz: \[\left(\frac{h^{3}}{h^{2}-25}\right)'=\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] Zatem \[V'(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Dla \(h\gt 5\) czynniki \(\frac{25\pi}{3}\), \(h^{2}\) i \(\left(h^{2}-25\right)^{2}\) są dodatnie, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia \(h^{2}-75\). **Krok \(5\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(h^{2}=75\), czyli \(h=5\sqrt{3}\) (wartość \(-5\sqrt{3}\) nie należy do dziedziny, a \(h=0\) również nie). **Krok \(6\).** Znak: \(V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(5,5\sqrt{3}\right)\) oraz \(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(5\sqrt{3},+\infty\right)\). Funkcja \(V\) maleje, a potem rośnie, więc w \(h=5\sqrt{3}\) osiąga minimum, a ponieważ jest to jedyne ekstremum, jest to zarazem wartość najmniejsza na całej dziedzinie. **Krok \(7\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(5\sqrt{3}\right)^{3}=375\sqrt{3}\) oraz \(\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt{3}}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{9375\sqrt{3}}{50}=\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Dziedzina jest przedziałem otwartym, więc nie można powołać się na twierdzenie o wartościach największej i najmniejszej na przedziale domkniętym — uzasadnieniem musi być zmiana znaku pochodnej (funkcja dąży do \(+\infty\) zarówno przy \(h\to 5^{+}\), jak i przy \(h\to+\infty\)). **Odpowiedź.** Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt{3}\), a objętość ta wynosi \(\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \[V'(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^{2}\cdot(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}.\] **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^{3}\) oraz \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) (gdzie \(a\neq 0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^{3}\) lub \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**C.** \(3\sqrt3\)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej \(l=6\) i kącie \(60^{\circ}\) przy wierzchołku. Wysokość stożka jest zarazem wysokością tego trójkąta, więc dzieli kąt przy wierzchołku na połowy. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku ma \(30^{\circ}\), a tworząca jest przeciwprostokątną: \[H=l\cos30^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt3}2=3\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(H=3\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 9.3) Rozpoznaje kąty w stożku; 9.6) stosuje trygonometrię do obliczania długości.

**C.** \(3\sqrt3\)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej \(l=6\) i kącie \(60^{\circ}\) przy wierzchołku. Wysokość stożka jest zarazem wysokością tego trójkąta, więc dzieli kąt przy wierzchołku na połowy. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku ma \(30^{\circ}\), a tworząca jest przeciwprostokątną: \[H=l\cos30^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt3}2=3\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(H=3\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: X.4) Rozpoznaje kąty w stożku; X.5) oblicza wielkości w stożku z użyciem trygonometrii.

\[d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\left(\pi\sin\frac\alpha2\right)}}{\cos\frac\alpha2}.\]

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka najkrótsza droga jest odcinkiem \(PB\). Jeżeli \(l\) i \(r\) oznaczają tworzącą i promień podstawy, to kąt wycinka wynosi \(2\pi\frac rl\), a ponieważ punkty leżą po przeciwnych stronach stożka, \[\angle BSP=\pi\frac rl=\pi\sin\frac\alpha2.\] W przekroju osiowym \[|PS|=\frac{H_2-H_0}{\cos\frac\alpha2},\qquad |BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos\frac\alpha2}.\] Po zastosowaniu twierdzenia cosinusów w trójkącie \(BSP\) otrzymujemy podany wzór na \(d=|PB|\).

**4 pkt** – poprawna metoda i końcowy wzór. **3 pkt** – kąt \(BSP\) na siatce oraz długości \(BS\) i \(PS\). **2 pkt** – kąt \(BSP\) albo długości \(BS\), \(PS\). **1 pkt** – zapisanie, że najkrótsza droga to odcinek \(PB\) na siatce stożka. **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII. Trygonometria. 1R) Zdający stosuje miarę łukową […]. VIII. Planimetria. 2) Zdający […] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów […]; 6) Zdający stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.

**A.** \(44^{\circ}\)

Promień podstawy stożka wynosi \(r=10\,\mathrm{cm}\). Jeżeli \(\beta\) jest połową kąta rozwarcia, to \[\tan\beta=\frac rH=\frac{10}{25}=0{,}4.\] Stąd \(\beta\approx21{,}8^{\circ}\), więc pełny kąt rozwarcia ma miarę \[2\beta\approx43{,}6^{\circ}\approx44^{\circ}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VII.4) Zdający rozwiązuje trójkąty prostokątne z użyciem funkcji trygonometrycznych. X.4) Rozpoznaje i oblicza kąty w stożkach, w tym kąt rozwarcia stożka.

\[\lvert\angle BSA\rvert\approx134^{\circ}.\]

Mamy \(r=10\) oraz \[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\] Długość łuku wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka. Jeśli \(\alpha=\lvert\angle BSA\rvert\), to \[\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot2\pi l=2\pi r.\] Zatem \[\alpha=\frac rl\cdot360^{\circ}=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^{\circ}\approx133{,}7^{\circ}\approx134^{\circ}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik około \(134^{\circ}\) **2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac rl\cdot360^{\circ}\) oraz zapisanie \(l^2=r^2+H^2\) **1 pkt** – zapisanie równania \(\frac{\alpha}{360^{\circ}}2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VIII.6) Zdający stosuje wzory na pole wycinka i długość łuku. X.5) Oblicza pola powierzchni stożków.

\[|\angle BSA|\approx134^{\circ}.\]

Promień podstawy stożka wynosi \(r=10\,\mathrm{cm}\), a jego tworząca \[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}\,\mathrm{cm}.\] Długość łuku wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka. Dla \(\alpha=|\angle BSA|\) mamy \[\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot2\pi l=2\pi r.\] Zatem \[\alpha=\frac r l\cdot360^{\circ}=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^{\circ}=\frac{720}{\sqrt{29}}^{\circ}\approx134^{\circ}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|\angle BSA|\approx134^{\circ}\) **2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac r l\cdot360^{\circ}\) oraz zapisanie \(l^2=r^2+H^2\) **1 pkt** – zapisanie równania \(\frac{\alpha}{360^{\circ}}2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.6) Zdający stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu. X.5) Oblicza pola powierzchni stożków.

**a)** W przekroju osiowym odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) i \(h\), więc z porównania pól \(rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}\), skąd \(r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\) i \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** \(V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}\), więc funkcja maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right)\) i rośnie na \(\left(5\sqrt3,+\infty\right)\). Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt3\), a jest ona równa \(V\left(5\sqrt3\right)=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: rozpatrujemy przekrój osiowy stożka. Odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) (promień) i \(h\) (wysokość stożka), opuszczoną na przeciwprostokątną. Pole tego trójkąta zapiszemy na dwa sposoby. **Krok \(2\).** Niech \(D\) będzie środkiem podstawy, \(B\) — punktem na brzegu podstawy, \(C\) — wierzchołkiem stożka. Trójkąt \(DBC\) jest prostokątny przy \(D\), jego przyprostokątne mają długości \(r\) i \(h\), a przeciwprostokątna \(BC\) (tworząca) ma długość \[\lvert BC\rvert=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy pole trójkąta \(DBC\) na dwa sposoby (drugi raz z wysokością równą \(5\), opuszczoną z \(D\) na \(BC\)): \[\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{r^{2}+h^{2}}\cdot 5,\qquad\text{czyli}\qquad rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(4\).** Podnosimy obie strony (dodatnie) do kwadratu i wyznaczamy \(r^{2}\): \[r^{2}h^{2}=25r^{2}+25h^{2},\qquad r^{2}\left(h^{2}-25\right)=25h^{2},\qquad r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}.\] Dzielenie jest poprawne, bo \(h\gt 5\), więc \(h^{2}-25\gt 0\). **Krok \(5\).** Podstawiamy do wzoru na objętość stożka: \[V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\cdot h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(V\) na przedziale \((5,+\infty)\). **Krok \(7\).** Różniczkujemy, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. W przedziale \((5,+\infty)\) mamy \(h^{2}\gt 0\), więc \[V^{\prime}(h)=0\iff h^{2}=75\iff h=5\sqrt3\quad\left(5\sqrt3\approx 8{,}66\right).\] **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej: dla \(h\in\left(5,5\sqrt3\right)\) jest \(h^{2}\lt 75\), więc \(V^{\prime}(h)\lt 0\); dla \(h\in\left(5\sqrt3,+\infty\right)\) jest \(V^{\prime}(h)\gt 0\). Zatem \(V\) maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 5\sqrt3,+\infty\right)\), więc dla \(h=5\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(10\).** Obliczamy tę objętość. Mamy \(\left(5\sqrt3\right)^{3}=375\sqrt3\) oraz \(\left(5\sqrt3\right)^{2}-25=75-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt3\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt3}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{375\sqrt3}{2}=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Pochodnej ilorazu nie wolno liczyć jako ilorazu pochodnych. Warto też zauważyć, że przy \(h\to 5^{+}\) oraz \(h\to+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie — to dodatkowo potwierdza, że w punkcie \(h=5\sqrt3\) jest minimum globalne. **Odpowiedź.** **a)** \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** Objętość jest najmniejsza dla \(h=5\sqrt3\) i wynosi wtedy \(\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Część a)** **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. \(\tfrac{1}{2}rh=\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{h^2+r^2}\), \(\left(\tfrac{5}{r}\right)^2+\left(\tfrac{5}{h}\right)^2=1\), \(\tfrac{r}{5}=\tfrac{h}{\sqrt{h^2-25}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\tfrac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \(V'(h)=\tfrac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^2\cdot(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^3\) oraz \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) (gdzie \(a\neq0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^3\) lub \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

W przekroju osiowym połowa kąta rozwarcia ma miarę \(60^{\circ}\). Zatem \[r=8\sin60^{\circ}=4\sqrt3,\qquad h=8\cos60^{\circ}=4.\] Objętość stożka wynosi \[V=\frac13\pi r^{2}h=\frac13\pi\cdot48\cdot4=64\pi.\]

**Krok \(1\).** Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w jego przekroju osiowym. Przekrój ten jest trójkątem równoramiennym o ramionach równych tworzącej, a wysokość stożka dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Cała praca sprowadza się więc do jednego trójkąta prostokątnego. **Krok \(2\).** Wysokość dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc w tym trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku stożka ma miarę \[\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.\] **Krok \(3\).** W tym trójkącie przeciwprostokątną jest tworząca \(l=8\), przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(60^\circ\) jest promień podstawy \(r\), a przyprostokątną przy tym kącie — wysokość stożka \(H\). **Krok \(4\).** Z definicji sinusa: \[r=l\cdot\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Z definicji cosinusa: \[H=l\cdot\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4.\] **Krok \(6\).** Do wzoru na objętość potrzebny jest kwadrat promienia: \[r^2=\left(4\sqrt3\right)^2=16\cdot3=48.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy do wzoru na objętość stożka: \[V=\frac13\pi r^2H=\frac13\pi\cdot48\cdot4=\frac{192}{3}\pi=64\pi.\] **Uwaga.** Kąt \(120^\circ\) jest kątem całego rozwarcia, a nie kątem w trójkącie prostokątnym — połówka to \(60^\circ\). Przekrój osiowy nie jest tu trójkątem równobocznym, tworząca nie jest ani wysokością, ani promieniem: gdyby przyjąć \(H=8\) albo \(r=8\), całe rozwiązanie byłoby błędne. **Odpowiedź.** \(V=64\pi\).

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(V=64\pi\). **2 pkt** – zapisanie promienia podstawy stożka: \(r=4\sqrt{3}\) oraz zapisanie wysokości stożka: \(H=4\) ALBO – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: \(r^2=48\) oraz zapisanie wysokości stożka: \(H=4\), ALBO – zapisanie wysokości stożka: \(H=4\) oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od \(H\), np. \(V=\) […] \(\cdot H\), ALBO – zapisanie promienia podstawy stożka: \(r=4\sqrt{3}\) oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od \(r\), np. \(V=\tfrac{1}{3}\pi r^2\) […], ALBO – wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej \(l\), np. \(V=\) […]. **1 pkt** – zapisanie promienia podstawy stożka: \(r=4\sqrt{3}\) ALBO – zapisanie wysokości stożka: \(H=4\), ALBO – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: \(r^2\) […], ALBO – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(r\) oraz \(H\), np.: […], ALBO – wyznaczenie objętości stożka w zależności od \(H\), np. \(V=\) […], ALBO – wyznaczenie objętości stożka w zależności od \(r\), np. \(V=\) […]. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że: a) trójkąt \(SOB\) jest trójkątem równobocznym, b) wysokość stożka jest równa \(8\), lub c) promień podstawy stożka jest równy \(8\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej, b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów, d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości \(x^2+y^2=x+y\), e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) (tzn. zapisanie, że promień podstawy stożka jest równy \(4\) i wysokość stożka jest równa \(4\sqrt{3}\)), lub f) przyjęcie, że kąt \(120^\circ\) to kąt wycinka koła o promieniu \(8\) tworzącego powierzchnię boczną stożka, i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości stożka). Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)—f), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie wysokości stożka: \(H=4\)).

1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka lub promieniem podstawy stożka), np.: \(\frac{H}{8}=\cos 60^{\circ}\), \(\frac{r}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Jeżeli \(r\) jest promieniem podstawy, to z pola przekroju osiowego mamy \(rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}\). Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy \(r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\). Zatem \(V(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\).

Rozpatrzmy przekrój osiowy stożka: trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i wysokości \(h\). Odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\), \(h\) i przeciwprostokątnej \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\). Porównując dwa wyrażenia na pole tego trójkąta, otrzymujemy \[\frac12rh=\frac12\cdot5\cdot\sqrt{r^{2}+h^{2}}\quad\Longrightarrow\quad rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] Po podniesieniu do kwadratu \[r^{2}h^{2}=25r^{2}+25h^{2}\quad\Longrightarrow\quad r^{2}\left(h^{2}-25\right)=25h^{2}\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25},\] co jest poprawne, bo z założenia \(h>5\), więc \(h^{2}-25>0\). Podstawiając do wzoru na objętość: \[V(h)=\frac13\pi r^{2}h=\frac{\pi}3\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\] **Odpowiedź.** Wzór jest udowodniony dla każdego \(h>5\).

**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. \(\tfrac{1}{2}rh=\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{h^2+r^2}\), \(\left(\tfrac{5}{r}\right)^2+\left(\tfrac{5}{h}\right)^2=1\), \(\tfrac{r}{5}=\tfrac{h}{\sqrt{h^2-25}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] stożka […].

**A.** \(44^{\circ}\)

Promień podstawy wynosi \(r=10\). Jeśli \(\beta\) jest połową kąta rozwarcia stożka, to w przekroju osiowym \[\tan\beta=\frac rH=\frac{10}{25}=0{,}4.\] Stąd \(\beta\approx21{,}8^{\circ}\), więc kąt rozwarcia ma miarę \(2\beta\approx43{,}6^{\circ}\), czyli po zaokrągleniu \(44^{\circ}\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza kąt rozwarcia stożka. VII.4) Rozwiązuje trójkąty prostokątne z użyciem trygonometrii.

\[120^\circ.\]

Ze wzoru na objętość stożka \[V=\frac13\pi r^2H\] otrzymujemy \[8\pi=\frac13\pi r^2\cdot2.\] Stąd \[r^2=12,\qquad r=2\sqrt3.\] Niech \(\alpha\) oznacza połowę kąta rozwarcia stożka. W przekroju osiowym \[\tan\alpha=\frac{r}{H}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3,\] więc \(\alpha=60^\circ\). Kąt rozwarcia ma zatem miarę \[2\alpha=120^\circ.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(120^\circ\) **1 pkt** – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka \(r^2=12\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający rozpoznaje w stożkach kąt rozwarcia i oblicza jego miarę. X.5) Zdający oblicza objętość stożka.

\[d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka najkrótsza droga jest odcinkiem \(PB\). Niech \(l\) i \(R\) oznaczają tworzącą i promień podstawy. Kąt środkowy całego wycinka ma miarę \(2\pi R/l\), dlatego punkty leżące po przeciwnych stronach stożka wyznaczają na siatce kąt \[\angle BSP=\pi\frac Rl=\pi\sin\frac{\alpha}{2}.\] Z przekroju osiowego stożka: \[|PS|=\frac{H_2-H_0}{\cos(\alpha/2)},\qquad |BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos(\alpha/2)}.\] Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(BSP\): \[|PB|^2=|PS|^2+|BS|^2-2|PS||BS|\cos\angle BSP.\] Po podstawieniu otrzymujemy \[d=|PB|=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i pełny wzór na długość \(PB\) **3 pkt** – obliczenie \(\angle BSP=\pi\sin(\alpha/2)\) oraz długości \(PS\) i \(BS\) **2 pkt** – obliczenie kąta na siatce albo obu długości odcinków od szczytu **1 pkt** – zapisanie, że najkrótsza droga jest długością odcinka \(PB\) na siatce stożka **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.3 i IV.4 tworzenie pomocniczych obiektów i modeli matematycznych oraz stosowanie strategii w sytuacji nietypowej. **Wymagania szczegółowe:** VII.1R, VIII.2 i VIII.6 miara łukowa, twierdzenie cosinusów oraz wzory na pole wycinka koła i długość łuku.

\[d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka najkrótsza droga jest odcinkiem \(PB\). Niech \(l\) i \(r\) oznaczają tworzącą i promień podstawy. Kąt środkowy całego wycinka ma miarę \(2\pi r/l\), dlatego punkty leżące po przeciwnych stronach stożka wyznaczają na siatce kąt \[\angle BSP=\pi\frac rl=\pi\sin\frac{\alpha}{2}.\] Z przekroju osiowego stożka: \[|PS|=\frac{H_2-H_0}{\cos(\alpha/2)},\qquad |BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos(\alpha/2)}.\] Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(BSP\): \[|PB|^2=|PS|^2+|BS|^2-2|PS||BS|\cos\angle BSP.\] Po podstawieniu i wyłączeniu wspólnego czynnika otrzymujemy \[d=|PB|=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\!\left(\pi\sin\frac{\alpha}{2}\right)}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i pełny wzór na długość \(PB\) **3 pkt** – obliczenie \(\angle BSP=\pi\sin(\alpha/2)\) oraz długości \(PS\) i \(BS\) **2 pkt** – obliczenie kąta na siatce albo obu długości odcinków od szczytu **1 pkt** – zapisanie, że najkrótsza droga jest długością odcinka \(PB\) na siatce stożka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III i IV tworzenie pomocniczych obiektów i modeli matematycznych oraz stosowanie strategii w sytuacji nietypowej. **Wymagania szczegółowe:** VII.1R, VIII.2 i VIII.6 miara łukowa, twierdzenie cosinusów oraz wzory na pole wycinka koła i długość łuku.

**A.** \(44^\circ\)

Promień podstawy wynosi \(r=10\), a tworząca \[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\] Jeśli \(\beta\) jest połową kąta rozwarcia stożka, to \[\sin\beta=\frac r l=\frac{2}{\sqrt{29}},\] więc \(\beta\approx21{,}8^\circ\), a cały kąt rozwarcia ma około \(43{,}6^\circ\approx44^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** X.4 rozpoznawanie i obliczanie kąta rozwarcia stożka.

\[|\angle BSA|\approx134^\circ.\]

Promień podstawy stożka wynosi \(r=10\), a tworząca \[l=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\] Długość łuku \(AB\) wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka, zatem \[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l=2\pi r.\] Stąd \[\alpha=\frac r l\cdot360^\circ=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^\circ\approx133{,}70^\circ\approx134^\circ.\]

**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia \(|\angle BSA|\) i wynik około \(134^\circ\) **2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac rl\cdot360^\circ\) i zapisanie \(l^2=r^2+H^2\) **1 pkt** – zapisanie \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.6 i X.6 stosowanie wzoru na długość łuku oraz obliczanie pól powierzchni stożka.

\[|\angle BSA|\approx134^\circ.\]

Promień podstawy stożka wynosi \(r=10\,\mathrm{cm}\). Z twierdzenia Pitagorasa tworząca ma długość \[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\] Łuk \(AB\) wycinka po sklejeniu staje się okręgiem podstawy stożka. Jeśli \(\alpha=|\angle BSA|\), to \[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l=2\pi r.\] Zatem \[\alpha=\frac rl\cdot360^\circ=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^\circ\approx133{,}7^\circ.\] Po zaokrągleniu \(\alpha\approx134^\circ\).

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|\angle BSA|\approx134^\circ\) **2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac rl\cdot360^\circ\) oraz równanie \(l^2=r^2+H^2\) **1 pkt** – zapisanie równania długości łuku \(\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** VIII.6 i X.6 długość łuku i pole wycinka koła oraz pola powierzchni stożka z wykorzystaniem poznanych twierdzeń.

**A.** \(44^\circ\)

Promień podstawy stożka jest równy \(r=10\,\mathrm{cm}\). Niech \(\beta\) oznacza połowę kąta rozwarcia stożka. W przekroju osiowym \[\tan\beta=\frac rH=\frac{10}{25}=\frac25.\] Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych \(\beta\approx22^\circ\), więc pełny kąt rozwarcia ma miarę \[2\beta\approx44^\circ.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie i interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.4 rozpoznawanie i obliczanie kąta rozwarcia stożka.

**B.** \(30\,\mathrm{cm}^{3}\)

Oba stożki mają wspólną podstawę, więc ich objętości \(V=\frac13\pi r^{2}h\) różnią się wyłącznie wysokością — są do niej wprost proporcjonalne. Stosunek wysokości wynosi \(3:2\), więc taki sam jest stosunek objętości. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\,\mathrm{cm}^{3}\), zatem \[\frac{V_{\text{dłuższy}}}{12}=\frac32\quad\Longrightarrow\quad V_{\text{dłuższy}}=18\,\mathrm{cm}^{3}.\] Objętość całej bryły: \[V=12+18=30\,\mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=30\,\mathrm{cm}^{3}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11. Bryły — zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli, także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym (G11.2).

**C.** \(1\)

Z treści \(l=r+2\) oraz \(P_b=P_p+2\pi\), czyli \[\pi rl=\pi r^{2}+2\pi.\] Po podstawieniu \(l=r+2\) i podzieleniu przez \(\pi\): \[r(r+2)=r^{2}+2\quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}+2r=r^{2}+2\quad\Longleftrightarrow\quad r=1.\] **Odpowiedź.** \(r=1\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[V=72\pi.\]

Z warunku \(P_b=3P_p\), czyli \(\pi rl=3\pi r^{2}\), otrzymujemy \(l=3r\). Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc \(l^{2}=r^{2}+H^{2}\): \[9r^{2}=r^{2}+144\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=18.\] Objętość stożka: \[V=\frac13\pi r^{2}H=\frac13\pi\cdot18\cdot12=72\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=72\pi\)

1–3 pkt: wyznaczenie zależności l=3r i promienia r²=18. 4 pkt: V=72π.

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(12\)

Pole powierzchni kuli o promieniu \(4\) jest równe \(4\pi\cdot16=64\pi\). Pole całkowite stożka o promieniu podstawy \(4\) i tworzącej \(l\) wynosi \[P_c=\pi\cdot16+\pi\cdot4l=16\pi+4\pi l.\] Z równości pól \(16\pi+4\pi l=64\pi\), więc \(l=12\). **Odpowiedź.** \(l=12\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni I II i interpretowanie i objętość walca, stożka, kuli (G11.2). reprezentacji. D C

**D.** \(22\)

Pole powierzchni kuli o promieniu \(2\) wynosi \(P_k=4\pi\cdot4=16\pi\), więc pole całkowite stożka jest równe \(3\cdot16\pi=48\pi\). Dla stożka o promieniu \(r=2\) i tworzącej \(l\) \[P_c=\pi r^{2}+\pi rl=4\pi+2\pi l=48\pi\quad\Longrightarrow\quad l=22.\] **Odpowiedź.** \(l=22\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(4\)

Z równości objętości stożka i kuli o tym samym promieniu \(r\): \[\frac13\pi r^{2}H=\frac43\pi r^{3}\quad\Longrightarrow\quad H=4r.\] Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\) i \(r\), więc \[\tan\alpha=\frac{H}{r}=4.\] **Odpowiedź.** \(\tan\alpha=4\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

cos α=\(9\)/√\(106=9\)√\(\frac{106}{106}\). Ze wzoru V=(πH/\(3\))(\(r^{2}\)+rR+\(R^{2}\)), przy H=\(10\), V=\(840\pi \) i r=\(6\), otrzymujemy R=\(12\). Przekrój osiowy jest trapezem o podstawach \(24\) i \(12\) oraz wysokości \(10\). Rzut poziomy przekątnej ma długość \(18\), a przekątna \(2\sqrt{106}\), więc cos α=\(18\)/(\(2\sqrt{106}\)).

Podstawiamy dane do wzoru na objętość stożka ściętego: \[840\pi=\frac{\pi\cdot10}{3}\left(6^{2}+6R+R^{2}\right).\] Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(\tfrac{3}{10}\): \[252=R^{2}+6R+36,\qquad R^{2}+6R-216=0.\] Wyróżnik \(\Delta=36+864=900\), \(\sqrt{\Delta}=30\), więc \[R=\frac{-6+30}{2}=12\qquad\text{lub}\qquad R=\frac{-6-30}{2}=-18.\] Promień jest dodatni, więc \(R=12\) (warunek \(r<R\) jest spełniony). Przekrojem osiowym stożka ściętego jest trapez równoramienny o podstawach \(2R=24\) i \(2r=12\) oraz wysokości \(10\). Rzut przekątnej tego trapezu na dłuższą podstawę ma długość \[\frac{24}{2}+\frac{12}{2}=18,\] a sama przekątna \[d=\sqrt{18^{2}+10^{2}}=\sqrt{424}=2\sqrt{106}.\] Kąt \(\alpha\) nachylenia przekątnej do dłuższej podstawy spełnia \[\cos\alpha=\frac{18}{2\sqrt{106}}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106}\approx0{,}874.\] **Odpowiedź.** \(\cos\alpha=\dfrac{9\sqrt{106}}{106}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i długość odcinka \(EB\): \(\lvert EB\rvert=18\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający obliczy długość przekątnej trapezu \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{106}\) albo obliczy tangens kąta \(DBE\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(\cos\lvert\sphericalangle DBE\rvert=\frac{9\sqrt{106}}{106}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (9.3). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).

**A.** \(\frac53\pi r^3\)

**Krok \(1\).** Bryła jest złożona z dwóch znanych brył, a jej objętość to po prostu suma objętości części: \[V=V_{\text{walca}}+V_{\text{półkuli}}.\] Kluczowa informacja z treści: promień podstawy walca, wysokość walca i promień półkuli to ta sama liczba \(r\). **Krok \(2\).** Objętość walca liczymy ze wzoru \(V=\pi r^2 H\). Tu wysokość \(H=r\), więc \[V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3.\] **Krok \(3\).** Objętość całej kuli o promieniu \(r\) to \(\frac43\pi r^3\). Półkula to dokładnie połowa kuli: \[V_{\text{półkuli}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3.\] **Krok \(4\).** Dodajemy obie objętości, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac33\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac53\pi r^3.\] **Uwaga.** Połowa kuli oznacza połowę **objętości**, a nie połowę promienia. Gdyby ktoś zmniejszył promień, wynik byłby zupełnie inny. **Odpowiedź.** A: \(\dfrac53\pi r^3\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **G11.2:** zdający oblicza pole powierzchni i objętość walca, stożka i kuli.

**D.** \(48\pi\)

Średnica podstawy wynosi \(12\), więc \(r=6\). Ze wzoru na objętość stożka \[V=\frac13\pi r^{2}H=\frac13\pi\cdot36\cdot4=48\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=48\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni I II i interpretowanie i objętość stożka (G11.2). reprezentacji. D A

**B.** \(18\pi\)

Wysokość, promień podstawy i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, więc \[r^{2}=l^{2}-H^{2}=\left(3\sqrt5\right)^{2}-6^{2}=45-36=9,\qquad r=3.\] Objętość stożka: \[V=\frac13\pi r^{2}H=\frac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=18\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**B.** \(\frac{\sqrt2}{2}\)

Z rysunku odczytujemy, że \(O\) jest środkiem górnej podstawy, \(S\) — środkiem dolnej, a \(A\) leży na okręgu dolnej podstawy. Odcinek \(OS\) jest wysokością walca, więc jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a zatem także do promienia \(SA\). Trójkąt \(OSA\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(S\). Z założenia \(|AS|=|OS|\), więc trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego kąty ostre mają po \(45^{\circ}\). Przeciwprostokątna wynosi \[|OA|=\sqrt{|OS|^{2}+|AS|^{2}}=|AS|\sqrt2,\] zatem \[\sin\angle OAS=\frac{|OS|}{|OA|}=\frac{|AS|}{|AS|\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2.\] **Odpowiedź.** \(\sin\angle OAS=\frac{\sqrt2}2\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0−1) 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje Wersja Wersja II. Wykorzystanie w walcach i w stożkach kąt między odcinkami I II i interpretowanie oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami reprezentacji. (9.3). B C

\[P_b=2\pi\sqrt{73}.\]

Ze stosunku \(H:r=3:8\) przyjmijmy \(H=3k\) i \(r=8k\). Z objętości \[\frac13\pi(8k)^{2}\cdot3k=8\pi\quad\Longrightarrow\quad 64k^{3}=8\quad\Longrightarrow\quad k=\frac12,\] czyli \(r=4\) oraz \(H=\frac32\). Tworząca: \[l=\sqrt{r^{2}+H^{2}}=\sqrt{16+\frac94}=\sqrt{\frac{73}4}=\frac{\sqrt{73}}2.\] Pole powierzchni bocznej: \[P_b=\pi rl=\pi\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}2=2\pi\sqrt{73}.\] **Odpowiedź.** \(P_b=2\pi\sqrt{73}\)

**1–3 pkt** – zależności \(\tfrac{h}{r}=\tfrac{3}{8}\) i \(r^{2}h=24\), następnie \(r=4\) oraz \(h=\tfrac{3}{2}\). **4 pkt** – pole boczne \(2\pi\sqrt{73}\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(8\pi\)

Wysokość dzieli kąt rozwarcia \(120^{\circ}\) na dwa kąty po \(60^{\circ}\), więc w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(l=4\) \[r=4\sin60^{\circ}=2\sqrt3,\qquad H=4\cos60^{\circ}=2.\] Objętość: \[V=\frac13\pi r^{2}H=\frac13\pi\cdot12\cdot2=8\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=8\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. (0−1) Wersja Wersja 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje I. Wykorzystanie I II w walcach i stożkach kąty między odcinkami i tworzenie informacji. i płaszczyznami (9.3). D B

**C.** \(3\sqrt3\)

Wysokość stożka dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość, promień i tworzącą kąt przy wierzchołku ma \(60^{\circ}\). Promień leży naprzeciw tego kąta, a tworząca jest przeciwprostokątną: \[r=l\sin60^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt3}2=3\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(r=3\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(r=\frac12l\).

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(\pi rl\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z warunku \(\pi rl=2\pi r^2\) i \(r>0\) otrzymujemy \(l=2r\), czyli \(r=\frac12l\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, pole powierzchni bocznej stożka.

\[h=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{375}.\]

Niech \(r\) będzie promieniem, a \(l=2-r\) tworzącą. Z twierdzenia Pitagorasa \[h=\sqrt{l^2-r^2}=2\sqrt{1-r},\qquad 0<r<1.\] Objętość wynosi \[V(r)=\frac13\pi r^2h=\frac{2\pi}{3}r^2\sqrt{1-r}.\] Maksymalizujemy równoważnie \(F(r)=r^4(1-r)\). Mamy \[F'(r)=r^3(4-5r),\] więc maksimum w \((0,1)\) występuje dla \(r=\frac45\). Wtedy \[h=2\sqrt{1-\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5},\] \[V_{\max}=\frac13\pi\left(\frac45\right)^2\frac{2\sqrt5}{5}=\frac{32\sqrt5\pi}{375}.\]

**7 pkt** – poprawna wysokość i największa objętość **6 pkt** – uzasadnienie maksimum dla \(r=\frac45\) **5 pkt** – obliczenie punktów krytycznych pochodnej **4 pkt** – poprawna pochodna funkcji równoważnej \(F(r)=r^4-r^5\) **3 pkt** – poprawna funkcja objętości i dziedzina \(0<r<1\) **2 pkt** – zapisanie \(V(r)=\frac{2\pi}{3}r^2\sqrt{1-r}\) **1 pkt** – wyznaczenie \(h=2\sqrt{1-r}\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** stereometria, modelowanie objętości stożka oraz optymalizacja z użyciem pochodnej.

**C.** \(60^\circ\).

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Jego ramiona mają długość \(6\), a podstawa jest średnicą podstawy stożka, więc także ma długość \(2\cdot3=6\). Przekrój jest zatem trójkątem równobocznym i \(\alpha=60^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, przekrój osiowy stożka.

\[r=4,\qquad h=2\sqrt5,\qquad V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{3}.\]

Niech \(r\) będzie promieniem podstawy, \(h\) wysokością, a \(l\) tworzącą stożka. Obwód przekroju osiowego wynosi \(2r+2l=20\), więc \(l=10-r\). Z twierdzenia Pitagorasa \[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{100-20r},\qquad 0<r<5.\] Objętość jest równa \[V(r)=\frac13\pi r^2\sqrt{100-20r}.\] Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, wystarczy maksymalizować \[F(r)=100r^4-20r^5.\] Mamy \[F'(r)=400r^3-100r^4=100r^3(4-r).\] Pochodna jest dodatnia dla \(0<r<4\) i ujemna dla \(4<r<5\), zatem maksimum występuje dla \(r=4\). Wtedy \[h=\sqrt{100-80}=2\sqrt5,\] \[V_{\max}=\frac13\pi\cdot4^2\cdot2\sqrt5=\frac{32\sqrt5\pi}{3}.\]

**7 pkt** – poprawne wartości \(r=4\), \(h=2\sqrt5\) i \(V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{3}\) **6 pkt** – pełne uzasadnienie maksimum dla \(r=4\) z drobnym błędem końcowym **5 pkt** – poprawna analiza znaku pochodnej i wskazanie maksimum **4 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej funkcji pomocniczej **3 pkt** – poprawna funkcja objętości i dziedzina \(0<r<5\) **2 pkt** – wyrażenie \(h=\sqrt{100-20r}\) i objętości przez \(r\) **1 pkt** – zapisanie \(l=10-r\) i zależności Pitagorasa **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11. Rachunek różniczkowy - stosowanie pochodnych w zagadnieniach optymalizacyjnych (R11.6).

**B.** \(9\pi\sqrt3\).

W przekroju osiowym podstawa trójkąta jest średnicą stożka, więc \(2r=6\) i \(r=3\). Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego: \[h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3.\] Zatem \[V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot9\cdot3\sqrt3=9\pi\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 9.6 zdający stosuje trygonometrię do obliczania długości i objętości brył.

**A.** \(V=\frac13a^2b\pi\).

Obrót wokół dłuższej przyprostokątnej długości \(b\) tworzy stożek o wysokości \(b\) i promieniu podstawy \(a\). Dlatego \[V=\frac13\pi a^2b.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, bryły obrotowe i objętość stożka.

Pole powierzchni całkowitej: \(480\pi\). Objętość: \(600\pi\).

Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(H\) wysokość stożka. Z treści \(H=2r-22\), a ponieważ \(H\) jest długością odcinka, musi być \(2r-22>0\), czyli \(r>11\) — ten warunek rozstrzygnie później wybór pierwiastka. W przekroju osiowym tworząca, wysokość i promień tworzą trójkąt prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa \[(2r-22)^2+r^2=17^2,\] \[4r^2-88r+484+r^2=289,\qquad 5r^2-88r+195=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=7744-3900=3844=62^2\), zatem \[r=\frac{88-62}{10}=2{,}6\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{88+62}{10}=15.\] Warunek \(r>11\) odrzuca pierwszą wartość, więc \(r=15\) i \(H=30-22=8\). Sprawdzenie: \(8^2+15^2=289=17^2\). Pole powierzchni całkowitej i objętość: \[P_c=\pi r(r+l)=\pi\cdot15\cdot(15+17)=480\pi,\] \[V=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13\pi\cdot225\cdot8=600\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_c=480\pi\), \(V=600\pi\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. \((2r-22)^2+r^2=289\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: \(r=15\) i \(h=8\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły.

Zadanie 33. (0–4) Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka. 3.4., G11.2. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe V. Rozumowanie z jedną niewiadomą, oblicza pole powierzchni i objętość i argumentacja graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Rozwiązanie: Narysujmy przekrój osiowy stożka i oznaczmy promień podstawy stożka przez r. 17 2r − 22 r Zauważamy, że 2r  22 musi być liczbą dodatnią, jako długość odcinka. Zatem r jest większe niż 11. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność: 2r  222  r 2  289 2 2 4r  88r  484  r  289 5r 2  88r 195  0   7744  3900  3844   62 88  62 88  62 r   2, 6 r   15 1 2 10 10 r odrzucamy, bo jest liczbą mniejszą od 11. 1 Dalsze obliczenia prowadzimy dla przypadku r  15 . Obliczamy wysokość stożka: 215  22  8 . 1 Obliczamy objętość stożka: V  152 8  600 3 Obliczamy powierzchnię całkowitą stożka: P 1515 17  480 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania – 1 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. 2r  222  r 2  289 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 2 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 3 pkt Wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: r  15 i h  8 Rozwiązanie pełne – 4 pkt Poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły. 1 V  152 8  600 3 P 1515 17  480

**C.** tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca

Podstawy są takie same, więc oba ciała mają ten sam promień \(r\). Pola powierzchni bocznych: \[P_b^{\text{stożek}}=\pi rl,\qquad P_b^{\text{walec}}=2\pi rh.\] Z ich równości \(\pi rl=2\pi rh\), a po podzieleniu przez \(\pi r>0\) otrzymujemy \(l=2h\). **Odpowiedź.** Tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca, czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Modelowanie matematyczne. Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (III.9.b).

**D.** \(5\) razy.

Z rysunku odczytujemy, że odcięty ostrosłup \(ABDE\) ma wierzchołek w narożu \(A\) sześcianu, a trzy jego krawędzie wychodzące z \(A\) — czyli \(AB\), \(AD\) i \(AE\) — są krawędziami sześcianu i są parami prostopadłe. Podstawą jest trójkąt prostokątny \(ABD\) o polu \(\frac12a^2\), a wysokością krawędź \(AE\) długości \(a\), więc \[V_{ABDE}=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot a=\frac{a^3}{6}.\] Pozostała część sześcianu ma objętość \[a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6},\] czyli \(5\) razy większą od objętości ostrosłupa. **Odpowiedź.** D. \(5\) razy.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli — także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.

**D.** \(\frac1{27}\pi h^3\)

Z treści \(r=\frac h3\), więc \[V=\frac13\pi r^{2}h=\frac13\pi\cdot\frac{h^{2}}9\cdot h=\frac1{27}\pi h^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=\frac1{27}\pi h^{3}\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**C.** \(15\pi\)

Tworzącą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o przyprostokątnych \(H=4\) i \(r=3\): \[l=\sqrt{16+9}=5.\] Pole powierzchni bocznej stożka: \[P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot5=15\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_b=15\pi\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (II.9.b).

**C.** \(32\pi\)

Przy obrocie wokół dłuższej przyprostokątnej to ona staje się wysokością stożka, a krótsza przyprostokątna — promieniem podstawy: \[r=4,\qquad H=6.\] Objętość: \[V=\frac13\pi\cdot16\cdot6=32\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=32\pi\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0–1) Modelowanie matematyczne Obliczenie objętości stożka (III.9.b) C

A. \(2\sqrt{2}\)

Tworząca, wysokość i promień podstawy stożka tworzą trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną, a kąt nachylenia tworzącej do podstawy leży naprzeciw wysokości. Zatem \[H=4\cdot\sin 45^\circ=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2.\] **Odpowiedź.** A. \(2\sqrt2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczenie wysokości stożka z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu (II.9.b).

**B.** \(13\)

Przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych powstaje stożek, w którym oś obrotu jest wysokością, a druga przyprostokątna — promieniem podstawy. Obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej, czyli wokół boku długości \(15\). Promieniem podstawy jest więc krótsza przyprostokątna: \[r=13.\] **Odpowiedź.** B. \(13\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozpoznawanie brył obrotowych i identyfikowanie ich elementów przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**D.** \(\frac{\sqrt3}{24}\pi a^3\)

Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Jego podstawa to średnica podstawy stożka, a wysokość — wysokość stożka: \[r=\frac a2,\qquad H=\frac{a\sqrt3}2.\] Objętość: \[V=\frac13\pi\left(\frac a2\right)^{2}\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac13\pi\cdot\frac{a^{2}}4\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}{24}\pi a^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=\frac{\sqrt3}{24}\pi a^{3}\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych; na podstawie danych przekroju osiowego stożka oblicza jego objętość.

**B.** \(13\)

Przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych ta przyprostokątna staje się wysokością stożka, a druga — promieniem podstawy. Obracamy wokół krótszej przyprostokątnej, czyli wokół boku o długości \(6\), więc promieniem podstawy jest dłuższa przyprostokątna: \[r=13.\] **Odpowiedź.** \(r=13\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – interpretuje bryłę obrotową i jej promień.

**B.** \(96\pi\)

Średnica podstawy wynosi \(12\), więc \(r=6\). Ze wzoru na objętość stożka \[V=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=96\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczenie związków miarowych w bryłach obrotowych.

**B.** \(6\ \mathrm{cm}\)

Powierzchnia boczna stożka rozwija się w wycinek koła o promieniu równym tworzącej \(l\), a długość łuku tego wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka. Rozwinięciem jest półkole o promieniu \(12\ \mathrm{cm}\), więc \(l=12\ \mathrm{cm}\), a długość łuku wynosi \[\frac12\cdot2\pi\cdot12=12\pi.\] Z równania \(2\pi r=12\pi\) otrzymujemy \(r=6\ \mathrm{cm}\). **Odpowiedź.** B. \(6\ \mathrm{cm}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie zależności między rozwinięciem powierzchni bocznej stożka a promieniem jego podstawy Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(18\pi\)

Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \(6\). Jego ramiona są tworzącymi stożka, a podstawa — średnicą podstawy stożka, więc \[l=6,\qquad 2r=6\ \Rightarrow\ r=3.\] Pole powierzchni bocznej: \[P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot6=18\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_b=18\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

\(60\pi \)

Z rysunku odczytujemy, że podstawa przekroju osiowego ma długość \(12\), a wysokość stożka — \(8\). Podstawa przekroju osiowego jest średnicą podstawy stożka, więc \[r=\frac{12}2=6,\qquad H=8.\] Wysokość stożka jest prostopadła do promienia podstawy, więc tworzącą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: \[l=\sqrt{r^{2}+H^{2}}=\sqrt{36+64}=10.\] Pole powierzchni bocznej stożka: \[P_b=\pi rl=\pi\cdot6\cdot10=60\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_b=60\pi\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(60\pi\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

\(V=\dfrac{2\sqrt2}{3}\pi\) (promień podstawy \(r=1\), wysokość \(h=2\sqrt2\)).

**Krok \(1\).** Trzeba rozpoznać, co łączy wycinek koła ze stożkiem. Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyznę promień otrzymanego wycinka jest tworzącą stożka \(l\), a łuk wycinka pokrywa się z okręgiem podstawy stożka — mają więc równe długości. To jedno równanie pozwala wyliczyć promień podstawy, a dalej wystarczy twierdzenie Pitagorasa i wzór na objętość. **Krok \(2\).** Z rysunku odczytujemy tworzącą: \(l=3\). Kąt środkowy wycinka wynosi \(120^\circ\), a to jest \(\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac13\) pełnego kąta, więc wycinek stanowi trzecią część koła o promieniu \(3\). **Krok \(3\).** Obliczamy długość łuku wycinka jako trzecią część obwodu koła o promieniu \(l=3\): \[\text{długość łuku}=\frac13\cdot2\pi l=\frac13\cdot2\pi\cdot3=2\pi.\] **Krok \(4\).** Ten łuk jest okręgiem podstawy stożka o promieniu \(r\), więc \[2\pi r=2\pi,\qquad r=1.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o przyprostokątnych \(r\) i \(h\) oraz przeciwprostokątnej \(l\): \[h^2=l^2-r^2=3^2-1^2=9-1=8,\qquad h=\sqrt8=2\sqrt2.\] **Krok \(6\).** Obliczamy objętość ze wzoru \(V=\frac13\pi r^2h\): \[V=\frac13\pi\cdot1^2\cdot2\sqrt2=\frac{2\sqrt2}{3}\pi.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to potraktowanie liczby \(3\) jako promienia podstawy stożka. Promień wycinka to tworząca \(l\), czyli odcinek od wierzchołka stożka do brzegu podstawy — promień podstawy \(r=1\) trzeba dopiero wyliczyć z długości łuku. Zamiast łuku można porównać pola: \(\frac13\pi l^2=\pi r l\), co daje ten sam wynik. **Odpowiedź.** \(V=\dfrac{2\sqrt2}{3}\pi\) (promień podstawy \(r=1\), wysokość \(h=2\sqrt2\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – […] promieniu \(l\) i obwodu koła w podstawie stożka o promieniu \(r\): \(\frac{1}{3}\cdot 2\pi l=2\pi r\) lub • porównanie pola trzeciej części pola koła o promieniu \(l\) i pola powierzchni bocznej stożka \(\frac{1}{3}\pi l^{2}=\pi rl\). **9.2. (1 pkt)** – wyznaczenie promienia podstawy stożka: \(r=1\). **9.3. (1 pkt)** – obliczenie wysokości stożka: \(h=2\sqrt{2}\). **9.4. (1 pkt)** – obliczenie objętości stożka: \(V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 1^{2}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3.\]

Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy stożka (równy promieniowi półkuli), a przez \(h\) wysokość stożka. Z treści zadania \[h=r+1.\] Objętości obu części kapsuły wynoszą \[V_{\text{st}}=\frac13\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{pk}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^{3}=\frac23\pi r^{3},\] a objętość całej kapsuły to \(V=V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\). Warunek zadania \(V_{\text{st}}=\frac23V\) przekształcamy: \[V_{\text{st}}=\frac23\left(V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\right),\qquad 3V_{\text{st}}=2V_{\text{st}}+2V_{\text{pk}},\qquad V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}.\] Podstawiamy wzory i \(h=r+1\): \[\frac13\pi r^{2}(r+1)=2\cdot\frac23\pi r^{3}=\frac43\pi r^{3}.\] Ponieważ \(r>0\), dzielimy obie strony przez \(\frac13\pi r^{2}\): \[r+1=4r,\qquad 3r=1,\qquad r=\frac13.\] Wtedy \(h=\frac13+1=\frac43\). Obliczamy objętość kapsuły: \[V_{\text{st}}=\frac13\pi\cdot\frac19\cdot\frac43=\frac{4\pi}{81},\qquad V_{\text{pk}}=\frac23\pi\cdot\frac1{27}=\frac{2\pi}{81},\] \[V=\frac{4\pi}{81}+\frac{2\pi}{81}=\frac{6\pi}{81}=\frac{2\pi}{27}.\] Sprawdzenie warunku: \(\frac{V_{\text{st}}}{V}=\frac{4/81}{6/81}=\frac23\). **Odpowiedź.** \(V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3\)

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **1 pkt** – zapisanie zależności między promieniem a wysokością stożka: \(h=r+1\) **1 pkt** – zapisanie wzorów na objętość stożka i półkuli **1 pkt** – przekształcenie warunku \(V_{\text{st}}=\frac23V\) do postaci \(V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}\) **1 pkt** – obliczenie promienia: \(r=\frac13\) **1 pkt** – obliczenie objętości kapsuły: \(V=\frac{2\pi}{27}\)

**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu matematycznego bryły złożonej, zapisywanie i przekształcanie warunku dotyczącego stosunku objętości oraz obliczanie objętości stożka i półkuli.

\[V=618\pi\ \mathrm{cm}^3\approx1941\ \mathrm{cm}^3.\]

Przekrój osiowy stożka ściętego jest trapezem równoramiennym, którego podstawy są średnicami obu podstaw bryły, a wysokość trapezu jest wysokością bryły. Zatem \[R=\frac{26}{2}=13\ \mathrm{cm},\qquad r=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{cm},\qquad h=6\ \mathrm{cm}.\] Objętość stożka ściętego: \[V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{\pi\cdot6}{3}\left(169+91+49\right)=2\pi\cdot309=618\pi\ \mathrm{cm}^3.\] Przyjmując \(\pi\approx3{,}14\): \[V\approx618\cdot3{,}14=1940{,}52\approx1941\ \mathrm{cm}^3.\] **Odpowiedź.** \(V=618\pi\ \mathrm{cm}^3\approx1941\ \mathrm{cm}^3\)

**1. ([…] pkt)** – […] \(x+6=x\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie długości wysokości odpowiedniego trójkąta: \(x=7\). **3. (2 pkt)** – Obliczenie objętości stożka ściętego: \(V=618\pi\,\mathrm{cm}^{3}\) (1 punkt przyznajemy za metodę i 1 punkt za obliczenia) **4. (1 pkt)** – Podanie odpowiedzi z uwzględnieniem zadanej dokładności: \(V\approx 1941\,\mathrm{cm}^{3}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na przetapianie brył. Kluczowa idea: przy przetopieniu ilość metalu się nie zmienia, więc objętość walca jest równa sumie objętości kuli i stożka. Wystarczy policzyć trzy objętości i rozwiązać równanie z niewiadomą wysokością. **Krok \(2\).** Objętość kuli o promieniu \(10\ \mathrm{cm}\) liczymy ze wzoru \(V=\frac43\pi R^3\): \[V_k=\frac43\pi\cdot10^3=\frac{4000}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(3\).** Stożek ma średnicę \(16\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \(8\ \mathrm{cm}\), a wysokość \(12\ \mathrm{cm}\). Ze wzoru \(V=\frac13\pi r^2h\): \[V_s=\frac13\pi\cdot8^2\cdot12=\frac13\pi\cdot64\cdot12=256\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(4\).** Sumujemy, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\frac{4000}{3}\pi+256\pi=\frac{4000}{3}\pi+\frac{768}{3}\pi=\frac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(5\).** Walec ma średnicę \(\frac{8\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \[r_w=\frac12\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm},\qquad r_w^2=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\ \mathrm{cm^2}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy równanie na objętość walca \(V=\pi r_w^2h_w\): \[\pi\cdot\frac{16}{3}\cdot h_w=\frac{4768}{3}\pi.\] **Krok \(7\).** Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(3\): \[16h_w=4768,\qquad h_w=\frac{4768}{16}=298\ \mathrm{cm}.\] **Uwaga.** Aż dwa razy w tym zadaniu podano średnicę, a wzory wymagają promienia — i w stożku, i w walcu trzeba pamiętać o podzieleniu przez \(2\). Warto też podnieść \(\frac{4\sqrt3}{3}\) do kwadratu ostrożnie: \(\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{4^2\cdot(\sqrt3)^2}{3^2}=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{16}{3}\), a nie \(\frac{4\cdot3}{3}\). Liczby dobrano tak, aby \(\pi\) skróciło się w równaniu, więc nie ma potrzeby liczenia przybliżeń. **Odpowiedź.** \(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] niami lub opis oznaczeń: \(2r_{W}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm – średnica walca. **8.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzorów na objętość kuli, stożka do obliczenia objętości walca: \(V_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.3. (1 pkt)** – ułożenie równania na objętość walca z niewiadomą \(h_{W}\) (\(h_{W}\) – wysokość walca): \(\frac{16}{3}\pi h_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(h_{W}=298\) cm.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[V=48\pi,\qquad P_c=60\pi\sqrt3.\]

Niech \(D\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(A\) na prostą \(BC\). Z trójkąta prostokątnego \(ACD\) \[\lvert AD\rvert=\lvert AC\rvert\sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3,\qquad \lvert CD\rvert=\lvert AC\rvert\cos 60^\circ=4.\] Ponieważ \(\lvert CD\rvert=4>3=\lvert CB\rvert\), punkt \(B\) leży między \(C\) a \(D\). Przy obrocie dookoła prostej \(BC\) powstaje więc stożek o wierzchołku \(C\), z którego wycięto stożek o wierzchołku \(B\) i tej samej podstawie — kole o promieniu \(r=\lvert AD\rvert=4\sqrt3\). Wysokości obu stożków to \(\lvert CD\rvert=4\) oraz \(\lvert BD\rvert=4-3=1\), zatem \[V=\tfrac13\pi r^{2}\cdot4-\tfrac13\pi r^{2}\cdot1=\tfrac13\pi\cdot48\cdot3=48\pi.\] Powierzchnię bryły tworzą dwie powierzchnie boczne (wspólna podstawa jest wnętrzem bryły i nie należy do jej brzegu). Tworzące obu stożków to \[\lvert CA\rvert=8,\qquad \lvert BA\rvert=\sqrt{\lvert BD\rvert^{2}+\lvert AD\rvert^{2}}=\sqrt{1+48}=7.\] Stąd \[P_c=\pi r\cdot8+\pi r\cdot7=\pi\cdot4\sqrt3\cdot15=60\pi\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(V=48\pi\), \(P_c=60\pi\sqrt3\).

**1. (1 pkt)** – wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń. **2. (1 pkt)** – zapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego trójkąta. Odp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym stożkiem o tej samej podstawie. Punkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek na rysunku. **3. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(AB\). Z twierdzenia kosinusów \(\lvert AB\rvert^{2}=\lvert AC\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}-2\lvert AC\rvert\cdot\lvert BC\rvert\cos\angle ACB\). Odp. \(\lvert AB\rvert=7\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(AD\): \(\lvert AD\rvert=\lvert AC\rvert\cdot\sin\angle ACB\). Odp. \(\lvert AD\rvert=4\sqrt{3}\) **5. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(CD\): \(\lvert CD\rvert=\lvert AC\rvert\cdot\cos\angle ACB\). Odp. \(\lvert CD\rvert=4\) **6. (1 pkt)** – obliczenie objętości powstałej bryły: \(V=\frac{1}{3}\pi\lvert AD\rvert^{2}\cdot\lvert CD\rvert-\frac{1}{3}\pi\lvert AD\rvert^{2}\cdot\lvert BD\rvert\). Odp. \(48\pi\) **7. (2 pkt)** – obliczenie pola powierzchni całkowitej: \(P=\pi\lvert AD\rvert\cdot\lvert AC\rvert+\pi\lvert AD\rvert\cdot\lvert AB\rvert\). Odp. \(60\sqrt{3}\pi\). Jeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej tylko jednego stożka przyznajemy \(1\) punkt.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\)

**Krok \(1\).** Oznaczamy przez \(r\) promień podstawy stożka, przez \(H\) jego wysokość, a przez \(R=4\) promień kuli wpisanej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i wysokości \(H\), w który wpisano okrąg o promieniu \(R\). **Krok \(2\).** Z podobieństwa trójkątów w przekroju osiowym otrzymujemy związek między \(r\) i \(H\): \[r^{2}=\frac{R^{2}H}{H-2R}=\frac{16H}{H-8},\qquad H>8.\] Warunek \(H>2R\) jest istotny: stożek opisany na kuli musi być wyższy niż jej średnica. **Krok \(3\).** Zapisujemy objętość jako funkcję jednej zmiennej \(H\): \[V(H)=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H^{2}}{H-8},\qquad H\in(8,+\infty).\] **Krok \(4\).** Liczymy pochodną: \[V'(H)=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{2H(H-8)-H^{2}}{(H-8)^{2}}=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H(H-16)}{(H-8)^{2}}.\] **Krok \(5\).** W dziedzinie \((8,+\infty)\) mianownik i czynnik \(H\) są dodatnie, więc o znaku decyduje \(H-16\). Pochodna jest ujemna na \((8,16)\) i dodatnia na \((16,+\infty)\), zatem w \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga minimum lokalne, a wobec zachowania na krańcach dziedziny — także najmniejszą wartość. **Krok \(6\).** Wyznaczamy promień i objętość dla \(H=16\): \[r^{2}=\frac{16\cdot 16}{16-8}=32,\qquad r=4\sqrt{2},\] \[V=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{16^{2}}{8}=\frac{512\pi}{3}.\] **Uwaga.** Zadanie pyta o objętość najmniejszą, nie największą — i minimum faktycznie istnieje: przy \(H o 8^{+}\) oraz przy \(H o+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie. **Odpowiedź.** \(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\approx 536{,}17\ \mathrm{cm}^{3}\)

**[…]. ([…] pkt)** – […] \(DV'=DV\). **50. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości: \(H=16\). **51. (1 pkt)** – zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: \(V'(H)>0\Leftrightarrow H\in(16;\infty)\) oraz \(V'(H)<0\Leftrightarrow H\in(8;16)\). **52. (1 pkt)** – stwierdzenie i zapisanie, że dla \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga lokalne minimum równe \(V(16)=\frac{512\pi}{3}\). **53. (1 pkt)** – uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty: \(\lim\limits_{H\to 8^{+}}V(H)=+\infty\) oraz \(\lim\limits_{H\to\infty}V(H)=+\infty\). **54. (1 pkt)** – podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu \(R=4\) cm: wysokość stożka, \(H=16\) cm, promień podstawy stożka \(r=4\sqrt{2}\) cm. Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy ma miarę \(60^\circ\).

**Krok \(1\).** Obliczenie objętości stożka \(1\) p V = \(96\) \(dm3\) **Krok \(2\).** Obliczenie pola powierzchni podstawy \(1\) p P = \(48\) \(dm2\) **Krok \(3\).** ostrosłupa **Krok \(4\).** Obliczenie długości wysokości ostrosłupa \(1\) p H = \(6\) dm **Krok \(5\).** Wyznaczenie jednej z funkcji **Krok \(6\).** trygonometrycznych kąta nachylenia **Krok \(7\).** \(1\) p tga = \(3\) **Krok \(8\).** ściany bocznej ostrosłupa do jego **Odpowiedź.** Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy ma miarę \(60^\circ\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – obliczenie objętości stożka: \(V=96\,\mathrm{dm}^{3}\) **10.2. (1 pkt)** – obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa: \(P=48\,\mathrm{dm}^{2}\) **10.3. (1 pkt)** – obliczenie długości wysokości ostrosłupa: \(H=6\,\mathrm{dm}\) **10.4. (1 pkt)** – wyznaczenie jednej z funkcji trygonometrycznych kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy: \(\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}\) **10.5. (1 pkt)** – wyznaczenie kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy: \(\alpha=60^\circ\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.