Zadanie z E8 (czerwiec 2020) – zadania na dowodzenie w geometrii

Odpowiedź: α = ½β

1. Krok 1 — co daje równość boków. Skoro $\textcolor{#16A06A}{|AC| = |BC|}$, trójkąt $ABC$ jest równoramienny o podstawie $AB$. Kąty przy podstawie są równe:
2. $|\angle BAC| = |\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}$
3. Krok 2 — co daje przedłużenie boku. Punkty $B$, $C$ i punkt na przedłużeniu leżą na jednej prostej, więc kąt $\textcolor{#16A06A}{\beta}$ i kąt wewnętrzny $\angle ACB$ są przyległe:
4. $\textcolor{#16A06A}{\beta} + |\angle ACB| = 180°$,   czyli   $|\angle ACB| = \textcolor{#E0453A}{180° - \beta}$
5. Krok 3 — suma kątów trójkąta.
6. $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#E0453A}{(180° - \beta)} = 180°$
7. $2\textcolor{#16A06A}{\alpha} - \textcolor{#16A06A}{\beta} = 0$
8. $2\alpha = \beta$,   czyli   $\alpha = \tfrac12\beta$. ∎
9. Wniosek: miara kąta $\alpha$ stanowi połowę miary kąta $\beta$ — co należało wykazać.

💡 Wskazówka: To jest po prostu twierdzenie o kącie zewnętrznym: kąt zewnętrzny trójkąta równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Tu te dwa kąty są równe (bo trójkąt jest równoramienny), więc kąt zewnętrzny to $2\alpha$.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $\beta$ jako kąta wierzchołkowego do $\angle ACB$ (czyli $\beta = \angle ACB$). Kąt wierzchołkowy leży po drugiej stronie punktu $C$ względem obu prostych, a $\beta$ ma jedno ramię wspólne z trójkątem — więc jest przyległy, nie wierzchołkowy.