Zadanie z E8 (materiały CKE) – zadania na dowodzenie w geometrii

Odpowiedź: Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°

1. Krok 1 — kąty przy jednym boku równoległoboku. Boki $AD$ i $BC$ są równoległe, a bok $AB$ je przecina. Kąty $\angle BAD$ i $\angle ABC$ są więc jednostronne wewnętrzne i sumują się do kąta półpełnego:
2. $|\angle BAD| + |\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{180°}$
3. Krok 2 — dwusieczne dzielą te kąty na pół. Niech $P$ będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Wtedy:
4. $|\angle PAB| = \tfrac12 |\angle BAD|$  •  $|\angle PBA| = \tfrac12 |\angle ABC|$
5. Krok 3 — sumujemy połówki. Skoro całości dają $\textcolor{#16A06A}{180°}$, to połówki dają połowę tego:
6. $|\angle PAB| + |\angle PBA| = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{180°} = \textcolor{#E0453A}{90°}$
7. Krok 4 — trzeci kąt trójkąta $ABP$.
8. $|\angle APB| = 180° - \textcolor{#E0453A}{90°} = 90°$
9. Wniosek: dwusieczne przecinają się pod kątem prostym, czyli są prostopadłe. ∎
10. Warto zauważyć, że wynik nie zależy od kształtu równoległoboku — działa dla każdego, bo jedyne, czego użyliśmy, to suma $180°$.

💡 Wskazówka: Kluczowy moment jest w kroku 3: skoro dwa kąty sumują się do $180°$, to ich połowy sumują się do $90°$. Ten sam chwyt działa wszędzie tam, gdzie pojawiają się dwusieczne kątów jednostronnych.

⚠ Najczęstszy błąd: rozpoczęcie od założenia konkretnych miar kątów (np. $60°$ i $120°$). To pokazuje tylko jeden przypadek — dowód musi obejmować każdy równoległobok, więc kąty trzeba zostawić jako litery.