Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – zadania na dowodzenie w geometrii

Odpowiedź: Trójkąty DCE i FBE są przystające, więc oba pola są równe.

1. Trójkąt $AFD$ powstaje z trapezu przez odcięcie kawałka $DCE$ i doklejenie kawałka $BEF$. Wystarczy więc pokazać, że te dwa kawałki mają równe pola — a najprościej udowodnić, że są przystające.
2. Porównujemy trójkąty $DCE$ i $FBE$:
3. (1) Bok. Punkt $E$ jest środkiem odcinka $BC$, więc $\textcolor{#16A06A}{|CE| = |EB|}$.
4. (2) Kąt. Podstawy trapezu są równoległe ($\textcolor{#16A06A}{DC \parallel AB}$), a prosta $DF$ je przecina. Kąty $\angle DCE$ i $\angle FBE$ są więc naprzemianległe, czyli równe:
5. $|\angle DCE| = \textcolor{#E0453A}{|\angle FBE|}$
6. (3) Drugi kąt. Kąty $\angle DEC$ i $\angle FEB$ są wierzchołkowe (proste $BC$ i $DF$ przecinają się w $E$), więc też są równe:
7. $|\angle DEC| = \textcolor{#E0453A}{|\angle FEB|}$
8. Z cechy kąt–bok–kąt trójkąty $DCE$ i $FBE$ są przystające, a więc mają równe pola.
9. Wniosek. Zapiszmy oba pola:
10. $P_{ABCD} = P_{ABED} + P_{DCE}$  •  $P_{AFD} = P_{ABED} + P_{FBE}$
11. Skoro $P_{DCE} = P_{FBE}$, to $P_{ABCD} = P_{AFD}$. ∎

💡 Wskazówka: To jest klasyczny trik „przełóż kawałek”: trapez zamienia się w trójkąt o tym samym polu. Ta sama konstrukcja wyjaśnia, skąd bierze się wzór na pole trapezu.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie obu pól ze wzorów, z literami na podstawy i wysokość. Da się tak, ale rachunek robi się długi — a wystarczy jedno przystawanie trójkątów.