Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2012) – zadania na dowodzenie w geometrii

Trzy proste przecinają się tak, że tworzą trójkąt ABC: jedna z nich przechodzi przez A i B, druga przez A i C, trzecia przez B i C. Kąt między prostą AB a przedłużeniem boku CA poza punkt A ma miarę 120° (jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego przy A ). Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

2pkt · trudniejsze

Zadanie 6 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Trzy proste przecinają się tak, że tworzą trójkąt

ABC

: jedna z nich przechodzi przez

A

B

, druga przez

A

C

, trzecia przez

B

C

. Kąt między prostą

AB

a przedłużeniem boku

CA

poza punkt

A

ma miarę

120°

(jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego przy

A

). Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku

C

oraz kąt wierzchołkowy do kąta wewnętrznego przy wierzchołku

B

oznaczono tą samą literą

\alpha

. Uzasadnij, że trójkąt

ABC

jest równoboczny.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Wszystkie kąty mają po 60°

Krok 1 — kąt przy wierzchołku $A$ . Kąt $\textcolor{#16A06A}{120°}$ i kąt wewnętrzny $\angle BAC$ są przyległe (mają wspólne ramię $AB$ , a pozostałe ramiona tworzą prostą $CA$ ):
$|\angle BAC| = 180° - \textcolor{#16A06A}{120°} = \textcolor{#E0453A}{60°}$
Krok 2 — kąt przy wierzchołku $B$ . Zaznaczony przy $B$ kąt $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ jest wierzchołkowy do kąta wewnętrznego $\angle ABC$ , a kąty wierzchołkowe są równe:
$|\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}$
Krok 3 — kąt przy wierzchołku $C$ . Tu $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ jest wprost kątem wewnętrznym:
$|\angle ACB| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}$
Krok 4 — suma kątów trójkąta.
$\textcolor{#E0453A}{60°} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} = 180°$
$2\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 120°$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{\alpha} = \textcolor{#E0453A}{60°}$
Wniosek: wszystkie trzy kąty trójkąta mają po $60°$ , więc trójkąt $ABC$ jest równoboczny (a nie tylko równokątny — w trójkącie to jedno i to samo). ∎

💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie reguły przy przecinających się prostych: przyległe dają razem $180°$ , a wierzchołkowe są równe. Prawie każdy taki dowód sprowadza się do zastosowania ich po kolei.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi i przyjęcie $\angle BAC = 120°$ . Wtedy suma kątów przekracza $180°$ — to od razu sygnał, że coś jest nie tak.