Zadanie z E8 (czerwiec 2019) – zadania na dowodzenie w geometrii

Odpowiedź: α = 110°

1. Krok 1 — kąt przy wierzchołku $A$. Wysokość $CE$ jest prostopadła do $AB$, więc w trójkącie $AEC$ mamy kąt prosty przy $E$:
2. $|\angle EAC| = 180° - 90° - \textcolor{#16A06A}{20°} = \textcolor{#E0453A}{70°}$
3. To jest kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku $A$, czyli $|\angle CAB| = \textcolor{#E0453A}{70°}$.
4. Krok 2 — kąt przy wierzchołku $B$. Trójkąt jest równoramienny ($\textcolor{#16A06A}{|AC| = |BC|}$), więc kąty przy podstawie $AB$ są równe:
5. $|\angle CBA| = \textcolor{#E0453A}{70°}$
6. Krok 3 — kąt, pod jakim wychodzi wysokość $AD$. Wysokość $AD$ jest prostopadła do $BC$, więc w trójkącie $ABD$ kąt przy $D$ jest prosty:
7. $|\angle BAD| = 180° - 90° - \textcolor{#E0453A}{70°} = \textcolor{#E0453A}{20°}$
8. Krok 4 — kąt między wysokościami. Oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia $AD$ i $CE$. W trójkącie $AEP$:
9. kąt przy $E$ jest prosty (bo $CE \perp AB$), a kąt przy $A$ to właśnie $|\angle EAP| = |\angle BAD| = \textcolor{#E0453A}{20°}$.
10. Szukany kąt $\alpha$ jest kątem zewnętrznym tego trójkąta przy wierzchołku $P$, więc równa się sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych:
11. $\alpha = 90° + \textcolor{#E0453A}{20°} = 110°$ ∎
12. Wniosek: kąt $\alpha$ ma miarę $110°$ — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: Zamiast kąta zewnętrznego można policzyć po kolei: w trójkącie $AEP$ trzeci kąt wynosi $180° - 90° - 20° = 70°$, a $\alpha$ jest do niego przyległy, więc $\alpha = 180° - 70° = 110°$ ✓ Wychodzi to samo.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $70°$ zamiast $110°$ — czyli obliczenie drugiego z dwóch kątów, jakie tworzą przecinające się proste. Treść pyta o kąt rozwarty, więc na koniec trzeba sprawdzić, który to.