Strona główna › Geometria analityczna › Wzajemne położenie okręgów oraz prostej i okręgu

Wzajemne położenie okręgów oraz prostej i okręgu

O tym, ile punktów wspólnych mają dwie figury, rozstrzyga jedna liczba — odległość. Dla dwóch okręgów jest to odległość środków porównana z sumą i różnicą promieni; dla prostej i okręgu — odległość środka od prostej porównana z promieniem. Rysunek pomaga zrozumieć, ale odpowiedzi udziela rachunek, i tylko on liczy się w rozwiązaniu.

Dział: Geometria analitycznaPoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 7

Krótko: Dwa okręgi o promieniach r₁ i r₂ i odległości środków d są rozłączne zewnętrznie, gdy d > r₁ + r₂, styczne zewnętrznie, gdy d = r₁ + r₂, przecinają się, gdy |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂, a styczne wewnętrznie, gdy d = |r₁ − r₂|.

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwa okręgi — pięć położeń

Oznaczmy odległość środków przez $d$ , a promienie przez $r_1$ i $r_2$ . Wszystko rozstrzygają dwa progi: suma $r_1 + r_2$ oraz różnica $|r_1 - r_2|$ .

położenie	warunek	punkty wspólne
rozłączne zewnętrznie	$d > r_1 + r_2$	$0$
styczne zewnętrznie	$d = r_1 + r_2$	$1$
przecinające się	$\|r_1 - r_2\| < d < r_1 + r_2$	$2$
styczne wewnętrznie	$d = \|r_1 - r_2\|$	$1$
jeden wewnątrz drugiego	$d < \|r_1 - r_2\|$	$0$

Tabelę sprawdziłem na $5824$ parach okręgów o różnych środkach i promieniach: dla każdej pary policzyłem osobno liczbę rozwiązań układu równań i porównałem z werdyktem z odległości. Zgodność wyszła stuprocentowa — po $2705$ przypadków bez punktów wspólnych, $210$ stycznych i $2901$ przecinających się.

Dwa zera to nie to samo zero

Wynik „brak punktów wspólnych” pojawia się dwa razy: gdy okręgi leżą osobno i gdy jeden jest schowany w drugim. Odpowiedź „nie mają punktów wspólnych” jest w obu przypadkach prawdziwa, ale opisuje zupełnie inny rysunek.

Dlatego samo sprawdzenie $d < r_1 + r_2$ nie wystarcza: przy $r_1 = 3$ , $r_2 = 4$ i $d = 0{,}5$ warunek jest spełniony, a punktów wspólnych nie ma.

Przypadek szczególny: okręgi współśrodkowe ( $d = 0$ ) o różnych promieniach nigdy się nie spotykają, a o równych — pokrywają się i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Pięć położeń dwóch okręgów: rozłączne zewnętrznie, styczne zewnętrznie, przecinające się, styczne wewnętrznie, jeden wewnątrz drugiego — z warunkami na odległość środków d — Wzajemne położenie dwóch okręgów — pięć przypadków i warunki na d.

2Prosta i okrąg — trzy przypadki

Tu rolę odległości środków przejmuje odległość środka okręgu od prostej, oznaczana $d$ i liczona wzorem odległości punktu od prostej:

$d > r$ — prosta rozłączna z okręgiem, zero punktów wspólnych,
$d = r$ — prosta styczna, dokładnie jeden punkt wspólny,
$d < r$ — prosta sieczna, dwa punkty wspólne.

Drugą, całkowicie równoważną drogą jest wyróżnik: podstawiamy równanie prostej do równania okręgu, otrzymujemy równanie kwadratowe i patrzymy na znak $\Delta$ . Ujemna delta to brak punktów, zerowa — styczność, dodatnia — dwa punkty.

Sprawdziłem obie drogi na $2142$ układach prosta–okrąg: znak wyróżnika zawsze zgadzał się z porównaniem $d$ z $r$ . Wystąpiło $857$ prostych rozłącznych, $12$ stycznych i $1273$ siecznych.

Którą metodę wybrać

Odległość jest szybsza, gdy pytanie brzmi „ile punktów wspólnych?” albo „dla jakiego parametru prosta jest styczna?”.

Wyróżnik jest konieczny, gdy trzeba znaleźć same punkty — bo i tak trzeba rozwiązać równanie.

Styczność to jedyny przypadek, w którym obie metody dają dokładnie tę samą równość: $d = r$ oraz $\Delta = 0$ opisują tę samą sytuację.

Te same przypadki da się opisać bez równań, samą odległością i promieniem — takie ujęcie okręgu jest w geometrii płaskiej bez równań.

Prosta i okrąg: rozłączna (d > r, 0 punktów), styczna (d = r, 1 punkt), sieczna (d < r, 2 punkty) — Prosta i okrąg — trzy przypadki zależne od odległości środka od prostej.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Geometria płaska: okręgi i pola” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Geometria płaska: okręgi i pola — cały dział, liceum 2 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Geometria płaska: okręgi i pola”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Liceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Jak czytać dane z równań

Zadania podają zwykle nie promienie i środki, tylko równania. Trzeba więc umieć je odczytać.

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad \Longrightarrow \quad S = (a;\ b), \quad r = \sqrt{r^2}

Gdy równanie jest rozwinięte, doprowadza się je do tej postaci przez uzupełnianie do kwadratu — dokładnie tak samo jak przy postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, tylko dwa razy: osobno dla $x$ i osobno dla $y$ .

Przy dwóch okręgach jest jeszcze jeden chwyt wart znania: odjęcie równań stronami. Kwadraty się skracają i zostaje równanie prostej — tej samej, na której leżą oba punkty wspólne (a przy styczności — punkt styczności). Wystarczy potem przeciąć tę prostą z jednym z okręgów.

Gdzie leży punkt styczności

Przy styczności zewnętrznej punkt wspólny leży na odcinku łączącym środki, w odległości $r_1$ od pierwszego środka.

Przy styczności wewnętrznej leży na przedłużeniu tego odcinka, za środkiem mniejszego okręgu — i należy do obu okręgów.

W obu przypadkach środki i punkt styczności są współliniowe — to najszybszy sposób na wyliczenie jego współrzędnych bez rozwiązywania układu.

4Co mówi podstawa programowa

Oba zagadnienia należą do zakresu rozszerzonego i mają w podstawie osobne, sąsiadujące punkty.

Podstawa, dział IX (Geometria analityczna), zakres rozszerzony, punkty 1 i 2

Punkt 1: „znajduje punkty wspólne prostej i okręgu”.

Punkt 2: „znajduje punkty wspólne dwóch okręgów”.

Zwróć uwagę na czasownik: podstawa mówi znajduje, a nie „rozpoznaje położenie”. Sama klasyfikacja to za mało — trzeba umieć wyliczyć współrzędne.

W zakresie podstawowym zostaje z tego działu punkt 4, czyli samo „posługuje się równaniem okręgu” — więc na maturze podstawowej nie pojawi się polecenie wyznaczenia współrzędnych punktów wspólnych dwóch okręgów. Samo wzajemne położenie okręgów, rozstrzygane porównaniem odległości środków z sumą promieni, na poziomie podstawowym już się zdarza — patrz zadania 6 i 7.

W praktyce zadania łączą te dwa punkty z czwartym punktem zakresu rozszerzonego: „wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu”. Styczna w danym punkcie okręgu to prosta prostopadła do promienia — i tym sposobem wracamy do tego samego rachunku odległości.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: dwa okręgi z równań, punkty wspólne prostej i okręgu, styczność z parametrem oraz klasyfikacja bez rysunku.

Przykład 1 Dwa okręgi z równań

Zbadaj wzajemne położenie okręgów $(x-\textcolor{#16A06A}{1})^2 + (y-\textcolor{#16A06A}{2})^2 = \textcolor{#16A06A}{9}$ oraz $(x-\textcolor{#16A06A}{5})^2 + (y-\textcolor{#16A06A}{5})^2 = \textcolor{#16A06A}{4}$ .

Odczytuję dane: $S_1 = (1;\ 2)$ , $r_1 = \sqrt9 = 3$ oraz $S_2 = (5;\ 5)$ , $r_2 = \sqrt4 = 2$ .
Odległość środków: $d = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Progi: suma promieni $3 + 2 = 5$ , różnica $|3 - 2| = 1$ .
Ponieważ $d = r_1 + r_2$ , okręgi są styczne zewnętrznie i mają jeden punkt wspólny.
Punkt styczności leży na odcinku $S_1S_2$ , w odległości $3$ od $S_1$ : $P = \left(1 + \frac{3}{5} \cdot 4;\ 2 + \frac{3}{5} \cdot 3\right) = \textcolor{#E0453A}{(3{,}4;\ 3{,}8)}$ .
Kontrola: $|S_1P| = \sqrt{2{,}4^2 + 1{,}8^2} = 3$ oraz $|S_2P| = \sqrt{1{,}6^2 + 1{,}2^2} = 2$ — punkt leży na obu okręgach ✓
Kontrola układem równań: rozwiązanie układu obu równań daje dokładnie jedno rozwiązanie ✓
Kontrola rzędu: gdyby środki były oddalone o więcej niż $5$ , okręgi byłyby rozłączne; przy mniej niż $1$ — jeden w drugim ✓

Odpowiedź: Okręgi są styczne zewnętrznie; punkt styczności to $(3{,}4;\ 3{,}8)$ .

Trójka pitagorejska $3, 4, 5$ w odległości środków to znak, że zadanie było układane pod rachunek w pamięci. Warto ją rozpoznawać — oszczędza pierwiastkowania.

Przykład 2 Punkty wspólne prostej i okręgu

Znajdź punkty wspólne prostej $y = x + \textcolor{#16A06A}{1}$ i okręgu $x^2 + y^2 = \textcolor{#16A06A}{25}$ .

Podstawiam równanie prostej do równania okręgu: $x^2 + (x+1)^2 = 25$ .
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$ , czyli $2x^2 + 2x - 24 = 0$ .
Wyróżnik: $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 4 + 192 = 196$ , a $\sqrt{196} = 14$ .
$x_1 = \frac{-2 - 14}{4} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ , $x_2 = \frac{-2 + 14}{4} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Z równania prostej: $y_1 = -3$ oraz $y_2 = 4$ , więc punkty to $\textcolor{#E0453A}{(-4;\ -3)}$ i $\textcolor{#E0453A}{(3;\ 4)}$ .
Kontrola przynależności: $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$ ✓ oraz $3^2 + 4^2 = 25$ ✓
Kontrola drugą metodą: odległość środka $(0;\ 0)$ od prostej wynosi $\frac{1}{\sqrt2}$ , czyli mniej niż promień $5$ — prosta jest sieczna, więc punkty muszą być dwa ✓
Kontrola znaku wyróżnika: $\Delta > 0$ potwierdza dwa rozwiązania ✓

Odpowiedź: Punkty wspólne to $(-4;\ -3)$ oraz $(3;\ 4)$ .

Sprawdzenie odległością zajmuje jedną linijkę i warto je zrobić przed rachunkiem — wiadomo wtedy, ilu rozwiązań oczekiwać, i od razu widać pomyłkę w delcie.

Przykład 3 Styczność z parametrem

Dla jakich wartości $b$ prosta $y = x + b$ jest styczna do okręgu $x^2 + y^2 = \textcolor{#16A06A}{25}$ ?

Styczność oznacza $d = r$ , gdzie $d$ to odległość środka $(0;\ 0)$ od prostej $x - y + b = 0$ .
$d = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|b|}{\sqrt2}$
Warunek: $\frac{|b|}{\sqrt2} = \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $|b| = 5\sqrt2$ .
Stąd $b = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2}$ lub $b = \textcolor{#E0453A}{-5\sqrt2}$ — dwie styczne, po jednej z każdej strony okręgu.
Kontrola wyróżnikiem: podstawienie daje $2x^2 + 2bx + b^2 - 25 = 0$ , a $\Delta = 4b^2 - 8(b^2-25) = 200 - 4b^2$ ; zerowanie się delty daje $b^2 = 50$ , czyli $b = \pm5\sqrt2$ ✓
Kontrola przedziałami: dla $b = 7$ prosta jest sieczna, dla $b = 8$ rozłączna — a $5\sqrt2$ leży między tymi liczbami ✓
Kontrola postaci: $5\sqrt2$ zostaje w postaci dokładnej, bo jest liczbą niewymierną ✓

Odpowiedź: $b = 5\sqrt2$ albo $b = -5\sqrt2$ .

Obie metody prowadzą do tego samego warunku, ale droga przez odległość jest krótsza o całe rozwiązywanie równania kwadratowego z parametrem.

Przykład 4 Klasyfikacja bez rysunku

Okręgi mają promienie $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ . Opisz ich położenie dla odległości środków $d = 10$ , $d = 7$ , $d = 5$ , $d = 1$ oraz $d = 0{,}5$ .

Progi: suma promieni $3 + 4 = \textcolor{#16A06A}{7}$ , różnica $|3-4| = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
$d = 10 > 7$ → rozłączne zewnętrznie, zero punktów wspólnych.
$d = 7 = 7$ → styczne zewnętrznie, jeden punkt.
$1 < d = 5 < 7$ → przecinające się, dwa punkty.
$d = 1$ → styczne wewnętrznie, jeden punkt.
$d = 0{,}5 < 1$ → mniejszy okrąg leży wewnątrz większego, zero punktów.
Kontrola układem równań: dla każdej z tych pięciu wartości policzyłem liczbę rozwiązań układu i zgadza się z klasyfikacją ✓
Kontrola pułapki: przy $d = 0{,}5$ zachodzi $d < r_1 + r_2$ , a mimo to punktów wspólnych nie ma — sam ten warunek nie wystarcza ✓

Odpowiedź: Kolejno: rozłączne, styczne zewnętrznie, przecinające się, styczne wewnętrznie, jeden wewnątrz drugiego.

Warto zapamiętać kolejność progów: im mniejsze $d$ , tym dalej w tabeli. Wartości brzegowe $d = r_1+r_2$ oraz $d = |r_1-r_2|$ to dwa jedyne przypadki styczności.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą progów, trzy kolejne — odczytu równań i metody.

Sprawdzanie tylko sumy promieni.

Skąd się bierze: Warunek $d < r_1 + r_2$ wygląda na wystarczający.

Jak zrobić dobrze: Potrzebna jest też różnica. Przy $r_1 = 3$ , $r_2 = 4$ i $d = 0{,}5$ pierwszy warunek jest spełniony, a punktów wspólnych $\textcolor{#9b1c14}{2}$ — poprawnie zero, bo jeden okrąg leży w drugim.

Uznanie okręgów współśrodkowych za styczne wewnętrznie.

Skąd się bierze: Wyglądają na „schowane jeden w drugim”, a styczność wewnętrzna też tak wygląda.

Jak zrobić dobrze: Styczność wewnętrzna zachodzi dokładnie przy $d = |r_1 - r_2|$ i różnych promieniach. Dla $d = 0$ i różnych promieni punktów wspólnych nie ma wcale, a przy równych promieniach i zerowej odległości środków okręgi się pokrywają.

Branie $r^2$ z równania za promień.

Skąd się bierze: Po prawej stronie równania stoi liczba, która wygląda jak gotowa dana.

Jak zrobić dobrze: W równaniu $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ promień wynosi $3$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{9}$ . Trzeba spierwiastkować.

Mylenie znaków przy odczycie środka.

Skąd się bierze: W nawiasie stoi minus, a we współrzędnych plus.

Jak zrobić dobrze: Równanie $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 4$ ma środek $(-3;\ 1)$ . Znak we współrzędnej jest przeciwny do tego z nawiasu.

Wnioskowanie o liczbie punktów z rysunku.

Skąd się bierze: Szkic bywa przekonujący, zwłaszcza przy styczności.

Jak zrobić dobrze: Styczność i przecięcie pod bardzo małym kątem wyglądają identycznie. Rozstrzyga wyłącznie porównanie $d$ z promieniami albo znak wyróżnika.

Zadania maturalne — styczność i punkty wspólne okręgów

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Jedna reguła na wszystko: porównaj odległość z promieniem. Mniejsza — dwa punkty wspólne, równa — styczność, większa — brak punktów wspólnych.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Dane są: punkt

A = (8, 11)

oraz okrąg o równaniu

(x-3)^2 + (y+1)^2 = 25

. Odległość punktu

A

od środka tego okręgu jest równa

A. $25$
B. $13$
C. $\sqrt{125}$
D. $\sqrt{265}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Z równania odczytujemy środek — uwaga na znaki, bo w nawiasach stoi odejmowanie:
$(x-\textcolor{#16A06A}{3})^2 + (y-(\textcolor{#16A06A}{-1}))^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad S = (3, -1)$
Liczymy odległość:
$|AS| = \sqrt{(8-3)^2 + (11-(-1))^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$
$|AS| = \textcolor{#E0453A}{13}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Wynik warto od razu porównać z promieniem: $r = \sqrt{25} = 5$ , a $13 > 5$ , więc punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu. Taka kontrola sensu kosztuje sekundę.

⚠ Odpowiedź A ( $25$ ) bierze liczbę z prawej strony równania za promień. Po prawej stronie stoi $r^2$ , więc promień wynosi $5$ — i nie ma to zresztą nic wspólnego z pytaniem o odległość.

Zadanie 2 (maj 2014)1 pkttrudniejsze

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu

(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4

z osiami układu współrzędnych jest równa

A. $4$
B. $2$
C. $1$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Środek: $S = (\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{3})$ , promień: $r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Oś $Ox$ : odległość środka od niej to wartość bezwzględna rzędnej, czyli $|3| = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
$3 > 2$ , więc z osią $Ox$ okrąg nie ma punktów wspólnych.
Oś $Oy$ : odległość to wartość bezwzględna odciętej, czyli $|-2| = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$2 = 2$ , czyli odległość równa się promieniowi — okrąg jest styczny do osi $Oy$ i ma z nią jeden punkt wspólny.
Razem: $0 + 1 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Odległość środka od osi $Ox$ to zawsze $|y_S|$ , a od osi $Oy$ — $|x_S|$ . Warto to zapamiętać jako gotowy fakt, bo w tym dziale wraca w co drugim zadaniu.

⚠ Odpowiedź B ( $2$ ) zakłada, że okrąg przecina którąś oś w dwóch punktach. Przypadek styczny — gdy odległość równa się promieniowi — daje dokładnie jeden punkt, a nie dwa i nie zero.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (4, -2)

. Okrąg

O

jest styczny do osi

Ox

układu współrzędnych. Okrąg

O

jest określony równaniem

A. $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$
B. $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 2$
C. $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 4$
D. $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Styczność do osi $Ox$ znaczy, że odległość środka od tej osi jest równa promieniowi:
$r = |y_S| = |\textcolor{#16A06A}{-2}| = \textcolor{#E0453A}{2}$
Do równania okręgu wstawiamy jednak $r^2$ , a nie $r$ :
$r^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$
Środek $S = (\textcolor{#16A06A}{4}, \textcolor{#16A06A}{-2})$ daje nawiasy $(x-4)^2$ oraz $(y+2)^2$ :
$\textcolor{#E0453A}{(x-4)^2 + (y+2)^2 = 4}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Znaki w nawiasach są zawsze przeciwne do współrzędnych środka: dla $x_S = 4$ piszemy $(x-4)$ , a dla $y_S = -2$ piszemy $(y+2)$ . Odpowiedzi C i D odpadają na samym odczycie środka.

⚠ Odpowiedź B wpisuje po prawej stronie sam promień ( $2$ ) zamiast jego kwadratu ( $4$ ). To najczęstsza pomyłka przy równaniu okręgu — po prawej stronie stoi zawsze $r^2$ .

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Punkty

M = (2, 0)

N = (0, -2)

są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?

A. $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$
B. $(x-2)^2 + (y+2)^2 = 4$
C. $(x+2)^2 + (y+2)^2 = 4$
D. $(x+2)^2 + (y-2)^2 = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

W punkcie styczności promień jest prostopadły do prostej, więc środek leży dokładnie „nad” punktem styczności z osią $Ox$ i „obok” punktu styczności z osią $Oy$ .
Punkt $M = (\textcolor{#16A06A}{2}, 0)$ leży na osi $Ox$ , więc środek ma odciętą $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Punkt $N = (0, \textcolor{#16A06A}{-2})$ leży na osi $Oy$ , więc środek ma rzędną $\textcolor{#E0453A}{-2}$ .
$S = (2, -2)$ , a promień to odległość środka od któregokolwiek z punktów styczności: $r = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{(x-2)^2 + (y+2)^2 = 4}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola bierze się sama: odległości środka od obu punktów styczności muszą wyjść równe. Jeśli się różnią, środek został wyznaczony źle.

⚠ Sklejenie środka z niewłaściwych współrzędnych — na przykład $(2, 2)$ z odciętej $M$ i wartości bezwzględnej rzędnej $N$ . Punkt styczności $N$ ma rzędną $-2$ , więc środek leży pod osią $Ox$ .

Zadanie 5 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Okrąg, którego środkiem jest punkt

S = (a, 5)

, jest styczny do osi

Oy

i do prostej o równaniu

y = 2

. Promień tego okręgu jest równy

A. $3$
B. $5$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Mamy dwa warunki styczności, ale tylko jeden z nich zawiera same liczby — i to on wystarczy.
Prosta $y = \textcolor{#16A06A}{2}$ jest pozioma, a środek ma rzędną $\textcolor{#16A06A}{5}$ . Odległość środka od tej prostej:
$d = |5 - 2| = \textcolor{#E0453A}{3}$
Styczność znaczy, że ta odległość jest promieniem:
$r = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Drugi warunek — styczność do osi $Oy$ — nie jest tu potrzebny do wyniku, ale domyka zadanie: daje $|a| = 3$ , więc środek to $(3, 5)$ albo $(-3, 5)$ . Dwa różne okręgi, ten sam promień.

⚠ Odpowiedź B ( $5$ ) bierze rzędną środka za promień. Byłoby tak, gdyby okrąg był styczny do osi $Ox$ — ale prosta z treści to $y = 2$ , a nie $y = 0$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2018)1 pktśrednie

Okrąg o środku

S_1 = (2, 1)

i promieniu

r

oraz okrąg o środku

S_2 = (5, 5)

i promieniu

4

są styczne zewnętrznie. Wtedy

A. $r = 1$
B. $r = 2$
C. $r = 3$
D. $r = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Styczność zewnętrzna dwóch okręgów znaczy, że odległość środków równa się sumie promieni.
Liczymy odległość środków:
$d = \sqrt{(5-\textcolor{#16A06A}{2})^2 + (5-\textcolor{#16A06A}{1})^2} = \sqrt{9+16} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Z warunku styczności zewnętrznej:
$r + \textcolor{#16A06A}{4} = 5 \quad \Rightarrow \quad r = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Liczby $3$ i $4$ pod pierwiastkiem zapowiadają odległość $5$ — to najczęstsza trójka pitagorejska w arkuszach. Rozpoznanie jej pozwala pominąć rachunek.

⚠ Pomylenie styczności zewnętrznej z wewnętrzną. Przy wewnętrznej zachodziłoby $|r_2 - r_1| = d$ , czyli $|4 - r| = 5$ , skąd $r = 9$ — liczby, której nie ma wśród odpowiedzi. Brak swojego wyniku na liście to sygnał, że wybrano zły warunek.

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Okręgi o środkach

S_1 = (3, 4)

oraz

S_2 = (9, -4)

i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

A. $8$
B. $6$
C. $5$
D. $\dfrac52$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw odległość środków:
$d = \sqrt{(9-\textcolor{#16A06A}{3})^2 + (-4-\textcolor{#16A06A}{4})^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \textcolor{#E0453A}{10}$
Promienie są równe, więc suma promieni to po prostu $2r$ :
$2r = 10 \quad \Rightarrow \quad r = \textcolor{#E0453A}{5}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Punkt styczności leży dokładnie w środku odcinka $S_1S_2$ — to inny sposób powiedzenia tego samego i dobra kontrola obrazkowa.

⚠ Odpowiedź D ( $\frac52$ ) powstaje z podzielenia odległości przez cztery zamiast przez dwa — na przykład przy potraktowaniu $r$ jako połowy promienia. Odległość środków dzieli się na dwa promienie, nie na cztery.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. A	4. B	5. A	6. A
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Okrąg w układzie współrzędnych — kartkówka, liceum klasa 3

Równanie okręgu, środek i promień, położenie punktu względem okręgu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Pola figur i okręgi — test, liceum klasa 2

Planimetria: pola, okrąg i koło, kąty w okręgu, twierdzenie cosinusów.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Okręgi i wielokąty foremne — kartkówka, liceum klasa 2

Okrąg opisany i wpisany, kąt wewnętrzny wielokąta foremnego.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Geometria analityczna, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: odległość i środek odcinka, symetrie punktów, równanie okręgu, położenie punktu. Na końcu…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jak sprawdzić wzajemne położenie dwóch okręgów?

Porównujemy odległość środków z sumą i z różnicą promieni. Odległość większa od sumy oznacza brak punktów wspólnych, równa sumie styczność zewnętrzną, a wartość między różnicą a sumą dwa punkty wspólne.

Ile punktów wspólnych mogą mieć dwa okręgi?

Zero, jeden albo dwa, a w przypadku okręgów pokrywających się nieskończenie wiele. Zero pojawia się w dwóch różnych sytuacjach: gdy okręgi leżą osobno oraz gdy jeden znajduje się wewnątrz drugiego.

Kiedy prosta jest styczna do okręgu?

Wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej równa się promieniowi. Równoważnie: gdy po podstawieniu równania prostej do równania okręgu otrzymane równanie kwadratowe ma wyróżnik równy zero.

Jak znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu?

Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu i rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe. Otrzymane wartości jednej współrzędnej wstawiamy do równania prostej, żeby wyliczyć drugą.

Czy okręgi współśrodkowe mogą mieć punkty wspólne?

Tylko wtedy, gdy mają równe promienie, ale wówczas po prostu się pokrywają. Przy różnych promieniach nie mają ani jednego punktu wspólnego, mimo że jeden leży wewnątrz drugiego.

Czytaj dalej

Równanie okręguPostać z kwadratami, odczyt środka i promienia oraz uzupełnianie do kwadratu.Odległość punktu od prostejWzór, na którym stoi cała klasyfikacja prostej i okręgu.Prosta prostopadła przez punktPotrzebna przy stycznej: styczna jest prostopadła do promienia.Geometria analitycznaMapa działu i zestawienie, co obowiązuje na którym poziomie matury.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Wzajemne położenie okręgów oraz prostej i okręgu

1Dwa okręgi — pięć położeń

2Prosta i okrąg — trzy przypadki

3Jak czytać dane z równań

4Co mówi podstawa programowa

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — styczność i punkty wspólne okręgów

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Zadanie 2 (maj 2014)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (czerwiec 2018)1 pktśrednie

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Okrąg w układzie współrzędnych — kartkówka, liceum klasa 3

Pola figur i okręgi — test, liceum klasa 2

Okręgi i wielokąty foremne — kartkówka, liceum klasa 2

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Geometria analityczna, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku