Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 64, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Spośród wszystkich czterocyfrowych dodatnich liczb całkowitych losujemy jedną liczbę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac1{25}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych jest \(9000\). Zliczamy liczby sprzyjające.
Gdy ostatnią cyfrą jest \(2\), cyfra \(3\) zajmuje jedną z pierwszych trzech pozycji. Otrzymujemy
\[8\cdot8+7\cdot8+7\cdot8=176.\]
Gdy ostatnią cyfrą jest jedna z cyfr \(0,4,6,8\), cyfry \(2\) i \(3\) zajmują dwie spośród pierwszych trzech pozycji. Jeżeli pozostała pozycja jest pierwsza, mamy \(7\cdot2\cdot4=56\) możliwości, a jeśli jest druga lub trzecia, mamy \(2\cdot8\cdot2\cdot4=128\). Razem \(184\).
Zatem \(|A|=176+184=360\), więc
\[P(A)=\frac{360}{9000}=\frac1{25}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P(A)=\frac1{25}\)
**3 pkt** – poprawne wartości \(|\Omega|=9000\), \(|A|=360\)
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(|A|=360\) albo pełny istotny przypadek wraz z \(|\Omega|\)
**1 pkt** – obliczenie \(|\Omega|=9000\) albo poprawne zliczenie jednego głównego przypadku
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.2) Zdający stosuje reguły mnożenia i dodawania.
XII.1) Oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
