Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 48, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).**
Odpowiedź
\[P(A)=\frac1{25}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich czterocyfrowych liczb dodatnich jest
\[|\Omega|=9\cdot10^3=9000.\]
Niech \(A\) oznacza zdarzenie opisane w zadaniu. Rozdzielamy liczby sprzyjające na dwa przypadki.
Gdy ostatnią cyfrą jest jedyna cyfra \(2\), dokładnie jedną cyfrę \(3\) umieszczamy na jednej z pierwszych trzech pozycji. Z uwzględnieniem zakazu zera na początku otrzymujemy \(176\) liczb.
Gdy ostatnią cyfrą jest jedna z cyfr \(0,4,6,8\), cyfry \(2\) i \(3\) zajmują dwie różne pozycje spośród pierwszych trzech; po uwzględnieniu pierwszej cyfry otrzymujemy \(184\) liczby.
Zatem
\[|A|=176+184=360,\]
a prawdopodobieństwo wynosi
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{360}{9000}=\frac1{25}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P(A)=\frac1{25}\)
**3 pkt** – poprawne wyniki \(|\Omega|=9000\) i \(|A|=360\), albo poprawna metoda zliczenia \(|A|\) z błędem rachunkowym i właściwy wzór na prawdopodobieństwo
**2 pkt** – poprawne zliczenie \(|A|=360\), albo poprawna metoda dla \(|A|\) i obliczenie \(|\Omega|=9000\)
**1 pkt** – obliczenie \(|\Omega|=9000\), pełne rozpisanie położeń cyfr \(2\) i \(3\), albo poprawne zliczenie jednego z przypadków: \(176\) lub \(184\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 i IV.2 tworzenie modelu matematycznego oraz dostrzeganie regularności.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.2 i XII.1 zliczanie z użyciem reguł mnożenia i dodawania oraz prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
