Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2011, poziom rozszerzony

Ponieważ \(A\cap B'\subset B'\), z monotoniczności prawdopodobieństwa mamy \(P(A\cap B')\leqslant P(B')\). Ponadto \(P(B')=1-P(B)=1-0{,}7=0{,}3\), zatem \(P(A\cap B')\leqslant0{,}3\).

**Krok \(1\).** Mamy oszacować z góry prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\cap B'\). Zauważmy, że dokładnej wartości policzyć się nie da — nie znamy \(P(A\cap B)\). W takich dowodach szukamy zdarzenia, które **zawiera** badane zdarzenie i którego prawdopodobieństwo umiemy podać. Narzędziem jest monotoniczność prawdopodobieństwa: jeżeli \(C\subset D\), to \(P(C)\leqslant P(D)\). **Krok \(2\).** Co to jest \(A\cap B'\)? To zdarzenie polegające na tym, że zaszło \(A\) i jednocześnie nie zaszło \(B\). Każde zdarzenie elementarne z tego zbioru należy w szczególności do \(B'\). **Krok \(3\).** Stąd zawieranie \[A\cap B'\subset B'.\] **Krok \(4\).** Z monotoniczności prawdopodobieństwa otrzymujemy \[P(A\cap B')\leqslant P(B').\] **Krok \(5\).** Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego liczymy ze wzoru \(P(B')=1-P(B)\): \[P(B')=1-0{,}7=0{,}3.\] **Krok \(6\).** Łącząc kroki \(4\) i \(5\): \[P(A\cap B')\leqslant0{,}3,\] co należało wykazać. **Krok \(7\).** Ten sam wniosek można uzyskać drugą drogą, korzystającą z obu danych. Zdarzenia \(A\cap B\) oraz \(A\cap B'\) są rozłączne i dają w sumie \(A\), więc \[P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B).\] Ponieważ \(P(A\cup B)\leqslant1\) oraz \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), dostajemy \[P(A\cap B)\geqslant P(A)+P(B)-1=0{,}9+0{,}7-1=0{,}6.\] Zatem \(P(A\cap B')\leqslant0{,}9-0{,}6=0{,}3\). **Uwaga.** W pierwszym rozumowaniu dana \(P(A)=0{,}9\) w ogóle nie jest potrzebna — oszacowanie \(P(A\cap B')\leqslant P(B')\) działa dla dowolnego zdarzenia \(A\). To normalne: w zadaniu na dowód nierówności część danych bywa nadmiarowa. Drugi sposób pokazuje, że przy \(P(A)=0{,}9\) szacowanie i tak jest najlepsze możliwe. **Odpowiedź.** Ponieważ \(A\cap B'\subset B'\) oraz \(P(B')=1-0{,}7=0{,}3\), zachodzi \(P(A\cap B')\leqslant0{,}3\).

Zadanie 12. (0-3) Użycia i tworzenia strategii Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń I sposób rozwiązania. Wiemy, że i oraz Mamy więc: P(AnB') ś Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania . 1 pl Zapisanie, że A u B = (AnB')uB Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynil Rozwiązanie pełne 3 pl . .........2 pkt to z dalszych rozważań. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pl Zapisanie, że oraz, że P (A u B) śl. Zdający nie musi tego wyraźn napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań. Zapisanie wniosku: P (A n B 0,3 Kryteria oceniania odpowiedzi II sposób rozwiązania. Wiemy, że stąd Mamy więc: Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że P (A n B') = Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań. Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................2 pkt Uzasadnienie, że P (A n B) , np. zapisze I ž P (A u B) = P (B) — P (A n B), stąd 0,6. Rozwiązanie pełne .............................................................................................................3 pkt Wykazanie, że: P (A n B') 0,3 III sposób rozwiązania. Z faktu, że A n B' c B' wynika, że P (AnB')ś P Ponieważ P (B) = 0,7 , więc P (B = 0,3 . Stąd wynika, że P (A n B') P = 0,3 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania Obliczenie P(B'): Pokonanie zasadniczych trudności zadania....................................... Zapisanie lub wykorzystanie faktu, że A n B' c B ' Rozwiązanie pełne Zapisanie wniosku: P (A n B') 0,3 1 pkt ....3 pkt

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń.