Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, maj 2011, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). W trójkącie równoramiennym \(ASC\) stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
\[|AC|:|AS|=6:5.\]
Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Odpowiedź
\[\sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy \(\lvert AC\rvert=6x\) oraz \(\lvert AS\rvert=\lvert CS\rvert=5x\), zgodnie z podanym stosunkiem.
Niech \(O\) będzie środkiem podstawy — punktem przecięcia przekątnych kwadratu \(ABCD\) i zarazem spodkiem wysokości ostrosłupa. Wtedy \(\lvert AO\rvert=\lvert OC\rvert=3x\), a z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AOS\)
\[\lvert SO\rvert=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}}=4x.\]
Bok podstawy ma długość \(a=\dfrac{\lvert AC\rvert}{\sqrt2}=3x\sqrt2\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\); odległość środka kwadratu od środka jego boku wynosi
\[\lvert OM\rvert=\frac a2=\frac{3x\sqrt2}{2}.\]
Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt \(\angle SMO\) w trójkącie prostokątnym \(SOM\). Jego przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej:
\[\lvert SM\rvert=\sqrt{\lvert SO\rvert^{2}+\lvert OM\rvert^{2}}=\sqrt{16x^{2}+\frac{9x^{2}}{2}}=x\sqrt{\frac{41}{2}}.\]
Stąd
\[\sin\lvert\angle SMO\rvert=\frac{\lvert SO\rvert}{\lvert SM\rvert}=\frac{4x}{x\sqrt{\tfrac{41}{2}}}=\frac{4\sqrt2}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{82}}{41}.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha=\dfrac{4\sqrt{82}}{41}\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I*
**1 pkt** – wyznaczenie \(\lvert AH\rvert=3x\) i \(\lvert SH\rvert=4x\) przy przyjętych oznaczeniach, np.: \(\alpha=\lvert\angle HMS\rvert\), \(\lvert AC\rvert=6x\).
**3 pkt** – wyznaczenie długości \(BC\): \(\lvert BC\rvert=\frac{\lvert AC\rvert}{\sqrt{2}}=\frac{6x}{\sqrt{2}}\) lub \(\lvert BC\rvert=3x\sqrt{2}\), i wyznaczenie długości \(CM\): \(\lvert CM\rvert=\frac{3x}{\sqrt{2}}\).
**4 pkt** – wyznaczenie długości \(SM\): \(\lvert SM\rvert=\sqrt{\frac{41}{2}}\,x\) lub \(\lvert SM\rvert=\frac{\sqrt{82}}{2}x\).
**5 pkt** – rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe).
**6 pkt** – wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}\).
*Schemat oceniania II*
**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń: \(\alpha=\lvert\angle HMS\rvert\), \(\lvert AC\rvert=[\ldots]\), gdzie \(a=\lvert AB\rvert=\lvert BC\rvert=\lvert CD\rvert=\lvert AD\rvert\), oraz wyznaczenie \(\lvert AS\rvert\), gdzie \(\frac{\lvert AC\rvert}{\lvert AS\rvert}=\frac{6}{5}\).
**3 pkt** – zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego \(CSH\) i wyznaczenie \(\lvert SH\rvert\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego \(SHM\) i wyznaczenie \(\lvert SM\rvert\).
**Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**
**6 pkt** – wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}\).
*Schemat oceniania III*
**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń: \(\lvert AC\rvert=6x\), \(\lvert HC\rvert=3x\), \(\lvert SC\rvert=5x\), \(\lvert AH\rvert=3x\).
**3 pkt** – wyznaczenie długości \(BC\) i wyznaczenie długości \(BM\), \(HM\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – wyznaczenie długości \(SM\): \(\lvert SM\rvert=\sqrt{\frac{41}{2}}\,x\) lub \(\lvert SM\rvert=\frac{\sqrt{82}}{2}x\).
**Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**
**6 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha\), a następnie \(\sin\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}\).
Jeśli zdający wyznaczy jedną z wielkości \(\lvert BC\rvert\) lub \(\lvert BM\rvert\) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, to za rozwiązanie otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający obliczy \(\operatorname{tg}\alpha\) lub \(\cos\alpha\), a nie obliczy \(\sin\alpha\) lub obliczy go z błędem, to otrzymuje \(5\) punktów. Jeżeli zdający obliczy jedynie \(\cos\alpha\), to otrzymuje \(5\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie.
