Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 31, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x,y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot y\geq0\).
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych par jest \(|X|\cdot|Y|=6\cdot4=24\). Zliczamy rozłącznie pary spełniające \(xy\geq0\): dla \(x<0\) mamy \(3\cdot3=9\) par z \(y\leq0\), dla \(x=0\) mamy \(4\) pary, a dla \(x>0\) mamy \(2\cdot2=4\) pary z \(y\geq0\). Łącznie jest \(9+4+4=17\) par. Zatem
\[P(A)=\frac{17}{24}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy najpierw ze zbioru \(X\), a potem niezależnie ze zbioru \(Y\), i tworzymy parę uporządkowaną. Zdarzeniami elementarnymi są więc wszystkie pary \((x,y)\), jednakowo prawdopodobne, a z reguły mnożenia
\[|\Omega|=|X|\cdot|Y|=6\cdot4=24.\]
Warunek \(x\cdot y\geq0\) oznacza, że iloczyn jest nieujemny: albo oba czynniki mają ten sam znak, albo co najmniej jeden z nich jest zerem. Rozbijamy zliczanie na rozłączne przypadki według znaku \(x\).
Dla \(x<0\), czyli \(x\in\{-3,-2,-1\}\), iloczyn jest nieujemny, gdy \(y\leq0\), czyli \(y\in\{-2,-1,0\}\). Daje to \(3\cdot3=9\) par.
Dla \(x=0\) iloczyn jest równy \(0\) niezależnie od \(y\), więc sprzyjają wszystkie \(4\) pary.
Dla \(x>0\), czyli \(x\in\{1,2\}\), iloczyn jest nieujemny, gdy \(y\geq0\), czyli \(y\in\{0,1\}\). Daje to \(2\cdot2=4\) pary.
Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, zatem
\[|A|=9+4+4=17,\qquad P(A)=\frac{17}{24}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{17}{24}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne określenie 24 zdarzeń elementarnych albo wszystkich 17 zdarzeń sprzyjających.
2 pkt: poprawna metoda i P(A)=17/24.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne.
Wymaganie szczegółowe: 10.3) Oblicza prawdopodobieństwo w prostych sytuacjach metodą klasyczną.
